物理中求极值的常用方法

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1、物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,若a>0,则当x=-时,y有极小值，为ymin=；若a<0,则当x=-时,y有极大值

2、，为ymax=；2、利用一元二次函数判别式求极值对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)若y≥A，则ymin＝A。若y≤A，则ymax＝A。3、利用配方法求极值对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x＝A时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y=－(x－A)2+常数。（2）当x＝A时，常数为极大值。4、利用均值定理法求极值均值定理可表述为，式中a、b可以是单个变量，也可以是多项式。当a＝b时，(a+b)min＝2。当a＝b时，(a+b)max＝。5、利用三角函数求极值如果所求物理

3、量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin”的形式，则y=Asin2α，在=45º时，y有极值。对于复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф)。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如所示。φab图1考虑asinθ+bcosθ＝()＝(cosфsinθ+sinфcosθ)＝sin(θ+ф)其最大值为。6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。7、用分析法求极值分析物理过程，

4、根据物理规律确定临界条件求解极值。下面针对上述7种方法做举例说明。例1：如图2所示的电路中。电源的电动势ε＝12伏，内阻r＝0.5欧，外电阻R1＝2欧，R2＝3欧，滑动变阻器R3＝5欧。求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值?最大值是多少?R1R3apbVR2图2分析：设aP间电阻为x，外电路总电阻为R.则：先求出外电阻的最大值Rmax再求出伏特计示数的最大值Umax。本题的关键是求Rmax，下面用四种方法求解Rmax。[方法一]用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为y＝ax2+bx+c。考虑R＝=，设y＝-x2+6x+16，当x＝＝—＝3时，Rmax(

5、3)＝＝2.5Ω。[方法二]用配方法求解考虑R＝＝=。即x＝3Ω时，Rmax＝Ω。[方法三]用判别式法求解考虑R＝，则有-x2+6x+16-10R＝0，Δ＝b2-4ac＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即：100-40R≥0，R≤2.5Ω，即Rmax＝2.5Ω。[方法四]用均值定理法求解考虑R＝，设a＝2+x；b＝8-x。当a＝b时，即2+x＝8-x，即x＝3Ω时，Rmax(3)＝＝2.5Ω。也可以用上面公式(a+b)max＝＝25，Rmax＝＝＝2.5Ω。以上用四种方法求出Rmax＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。Imin＝＝＝4(A)。Umax＝ε-Iminr＝1

6、2-40.5＝10(V)。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。例2：如图3所示。光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M＝0.99kg的木块，一颗质量为m＝0.01Kg的子弹，以V0=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大?且最大值为多少?图3Mmv0RO[解析]子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为V1，则：mV0＝(m+M)V1，所以：V1=＝设在轨道最高点平抛时物块的速度为V2，由于轨道光滑，故机械能守恒：所以：V2==

7、则平抛后的位移可以表示为：s=V2t=V2＝4。因为a=-1<0,所以水平位移S应该存在最大值。当R==0.2m时，Smax＝0.8m例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m／s2，试分析两车不相撞的条件。[解析]要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足V0t-（式中S为汽车刹车时与自行车间距）代入数据整理得：3t2-18t+S>0，显然，当满足＝b2-4ac0，即＝182-43S0得：S27m