高考物理力学求极值的常用方法.doc

高考物理力学求极值的常用方法.doc

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1、中学物理力学求极值的常用方法一、知识要点1.极值问题:指极小值和极大值。注:极值不一定是最值。2.求极值问题的两个途径:物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关,巧妙地建立一个含极值条件的物理模型,则可快捷地解决问题。(1)物理方法:从物理过程的分析着手求解极值问题。(2)数学方法:从数学方法角度思考,借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。二、应试策略1.用二次函数求极值的方法求极值一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-时,y有极小值y极=,用a>0时y有极小值,a<0时y有极大值。例1.一辆小汽车从静止开始以3m/

2、s2的加速度行驶,恰有一自行车以6m/s的速度从车旁边匀建驶过(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远?此最远距离是多少’(2)汽车什么时候追上自行车?此时汽车的速度是多少?解析:设汽车在追上自行车之前经t时间两车相距最远,则△S=S2-S1,S2=V0t,得(1)当时,△S极=或(2)汽车追上自行车时两车位移相等,即△S=0,得t’=4s。vt=at’=12m/s答案:(1)2S,6m;(2)12m/s。---可以利用配方法求解点评:本题可以用v-t图象求解,也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。2.利用一元二

3、次方程根的判别式求极值将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),转化为二次方程ax2+bx+c-y=0,其判别式Δ=b2-4aC≥0,x有实数解,若y≥A,则ymin=A;若y≤A,则ymax=A。Δ≤0,方程无实数解。例2.一个质量为M的圆环,用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上,且可沿环无摩擦滑动,如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明,当m>M时,圆环能升起。证明:取小球为研究对象,受力如图(a),由牛顿第二定律,得mgcosθ+N=由动能定理得mgR(1-cosθ)=mv2由此二式得N=2mg-3mgcosθ

4、  上式中,N>0,即cosθ<以环为研究对象,受力图如(b),在竖直方向,由牛顿第二定律,有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时,a=0,可得2N’cosθ=Mg N’与N为作用力与反作用力,则2(2mg-3mgcosθ)cosθ=Mg即6mcos2θ-4mcosθ+M=0 上式是关于cosθ的一元二次方程,cosθ为实数,则△≥0,即(4m)2-4(6m)M≥0,可得m≥M 当m=M时,T恰好为零,但不升起,所以取m>M为升起条件。3.利用三角函数求极值用三角函数求极值,实际上是应用了正、余弦函数的有界性。①利用倍角公式将y=

5、Asin转化为y=Asin2α的形式,当=45º时,y有极大值。②将三角函数y=asinθ+bcosθ,转化成的形式,再利用其有界性求解。例3.质量为m的物体,在与水平方向成θ斜向上拉力F牵引沿水平地面上匀速直线运动。已知物体与地面间的滑动摩擦系数为μ,求力F的最小值及角θ。解析。物体受力情况如图,根据牛顿第二定律得FNGfFθFcosθ-f=0FN+Fsinθ-mg=0f=μN解得:F=可写成,其中则时,F有最小值,此时,答案:;点评:利用三角函数的有界性求极值,是中学物理常用的解题方法。4.利用图象法求极值通过对物理过程的分析和所遵守的

6、物理规律,找出相关变量之间的函数关系,作出物理图象,由图象再求得极值。通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。例4.甲、已两光滑斜面高度相同,乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同,只是由两部分组成如图所示,将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放,不计在拐角处的能量损失,则哪一个小球先滑到底端?解析:小球沿甲斜面OB做匀加速运动,设其加速度大小为a1,小球沿乙斜面OD段、DE段分别做匀加速运VVtt1t2BEDOa22a3a1动,设其加速度大小分别为a2和a3,由图象和a=gsinθ可知a3

7、达斜面底端时的速率大小相等,且通过的路程(即斜面的总长度)相等.可用速率时间图象求解。作两小球分别沿甲、乙两斜面运动的速率一时间图象如图所示。因为速率一时间图线的斜率表示小球加速度的大小,图线与时间轴所围成的面积表示小球所通过的路程,则四边形ODEt乙与三角形0Bt甲面积相等时,显然有t乙

8、。例5.有一小船位于60m宽的河边,从这里起在下游80m处河流变成瀑布。假设河水流速为5m/s,为了使小船能安全渡河,船相对于静水的速度不能小于多少?V合OAV水60mθ80mV

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