高考物理力学求极值的常用方法.doc

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1、中学物理力学求极值的常用方法一、知识要点1．极值问题：指极小值和极大值。注：极值不一定是最值。2．求极值问题的两个途径：物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。二、应试策略1．用二次函数求极值的方法求极值一元二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当x=-时，y有极小值y极=，用a>0时y有极小值，a<0时y有极大值。例1．一辆小汽车从静止开始以3m/

2、s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车旁边匀建驶过(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’(2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t时间两车相距最远，则△S＝S2-S1，S2=V0t，得(1)当时，△S极=或(2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S＝0，得t’=4s。vt=at’=12m/s答案：(1)2S，6m；(2)12m/s。---可以利用配方法求解点评：本题可以用v-t图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。2．利用一元二

3、次方程根的判别式求极值将二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），转化为二次方程ax2＋bx＋c－y=0，其判别式Δ＝b2－4aC≥0，x有实数解，若y≥A，则ymin＝A；若y≤A，则ymax＝A。Δ≤0，方程无实数解。例2．一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m>M时，圆环能升起。证明：取小球为研究对象，受力如图（a），由牛顿第二定律，得mgcosθ＋N=由动能定理得mgR（1－cosθ）＝mv2由此二式得N=2mg－3mgcosθ

4、  上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg N’与N为作用力与反作用力，则2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 上式是关于cosθ的一元二次方程，cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。3．利用三角函数求极值用三角函数求极值，实际上是应用了正、余弦函数的有界性。①利用倍角公式将y＝

5、Asin转化为y＝Asin2α的形式，当＝45º时，y有极大值。②将三角函数y＝asinθ+bcosθ，转化成的形式，再利用其有界性求解。例3．质量为m的物体，在与水平方向成θ斜向上拉力F牵引沿水平地面上匀速直线运动。已知物体与地面间的滑动摩擦系数为μ，求力F的最小值及角θ。解析。物体受力情况如图，根据牛顿第二定律得FNGfFθFcosθ－f＝0FN＋Fsinθ－mg=0f＝μN解得：F＝可写成，其中则时，F有最小值，此时，答案：；点评：利用三角函数的有界性求极值，是中学物理常用的解题方法。4．利用图象法求极值通过对物理过程的分析和所遵守的

6、物理规律，找出相关变量之间的函数关系，作出物理图象，由图象再求得极值。通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。例4．甲、已两光滑斜面高度相同，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同，只是由两部分组成如图所示，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计在拐角处的能量损失，则哪一个小球先滑到底端？解析：小球沿甲斜面OB做匀加速运动，设其加速度大小为a1，小球沿乙斜面OD段、DE段分别做匀加速运VVtt1t2BEDOa22a3a1动，设其加速度大小分别为a2和a3,由图象和a=gsinθ可知a3

7、达斜面底端时的速率大小相等，且通过的路程（即斜面的总长度）相等．可用速率时间图象求解。作两小球分别沿甲、乙两斜面运动的速率一时间图象如图所示。因为速率一时间图线的斜率表示小球加速度的大小，图线与时间轴所围成的面积表示小球所通过的路程，则四边形ODEt乙与三角形0Bt甲面积相等时，显然有t乙

8、。例5．有一小船位于60m宽的河边，从这里起在下游80m处河流变成瀑布。假设河水流速为5m/s，为了使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？V合OAV水60mθ80mV