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1、余弦函数的图象和性质知识精讲一.本周教学内容正、余弦函数的图象和性质二.本周教学目标1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。2.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。3.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质。三.本周知识要点：（一）三角函数的周期性周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。对
2、于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。说明：①周期函数x定义域M，则必有x+TM②T往往是多值的（如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π注：在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。（二）三角函数的性质1.几何法作图第一步：列表。首先在单位圆中画出正弦线和余弦线
3、。在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）。第二步：描点。我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点。第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象。将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象2．用五点
4、法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）（1）正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(,1)(p,0)(,-1)(2p,0)yxo1-1（2）余弦函数y=cosxxÎ[0,2p]的图象中，五个关键点是：(0,1)(,0)(p,-1)(,0)(2p,1)3.正弦函数的性质（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R（2）值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。其中正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝＋2kπ，k∈
5、Z时，取得最大值1。②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1。而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1。②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1。（3）周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。（4）奇偶性y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称（5）单调性正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区
6、间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1。【典型例题】例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示 (1)求该函数的周期；（2）求t＝10s时钟摆的高度。t/sh/mm解：（1）由图象知，周期为1.5s(2)故高度为20mm。例2 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：解：作
7、出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：解：作出余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为：例3求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么。(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R。解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝。函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2。(2)令Z＝2x，那么
8、x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ即使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝。函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1。例4求下列函数的定义域：(1)y＝(2)y＝解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1即x≠＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域
