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1、专题9平面向量及应用★★★高考在考什么【考题回放】ABCD1、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（C）（A）＝；（B）＋＝；（C）－＝；（D）＋＝．2、若与都是非零向量，则“”是“”的（C）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3、已知三点，其中为常数.若，则与的夹角为（D）（A）（B）或（C）（D）或4、已知向量，，则的最大值为．5、设向量，，满足，，，若｜｜=1,则｜｜+｜｜的值是 4 .6、设函数，其中向量，，，。（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、
2、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。【专家解答】(Ⅰ)由题意得=(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k，即x＝,k∈Z，于是d＝（，－2），k∈Z.因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及向量的概念、
3、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.【热点透析】在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.★★★高考将考什么【范例1】出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件
4、；③若，则；④的充要条件是且∥；⑤若∥，∥，则∥。其中，正确命题材的序号是_________________.解析：①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。②正确。∵且，又A、B、C、D为不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则，因此。③正确。∵，∴、的长度相等且方向相同，又=，∴、的长度相等且方向相同，∴、的长度相等且方向相同，故。④不正确。当∥且方向相同，即使，也不能得到。⑤不正确。考虑这种极端情况。答案：②③。【点晴】本题重在考查平面的基本概念。【范例2】平面内给定三个向量：
5、。回答下列问题：（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若∥，求实数k；（4）设满足∥且，求解：（1）依题意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）（2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）∴解之得（3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2）∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴；（4）∵=（x-4，y-1），=（2，4），又∵∥且，∴解之得或∴=（，）或=（，）【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。【范
6、例3】已知射线OA、OB的方程分别为，，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。（1）若，求P点的轨迹C的方程；（2）已知，，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。解：（1）设，，则，，所以，即。又因为，所以，代入得：。（2），所以，因为，所以，得，又，联立得，因为，所以不存在这样的P点。【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。【文】设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b).（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与
7、最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。解：(Ⅰ)∵∴的最大值为，最小正周期是。（Ⅱ）由(Ⅰ)知即成立的的取值集合是.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.【范例4】已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；（II）若直线l：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有
8、AD
9、=
10、BD
11、，试求m的取值范围．解:（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+,y),–=（x,0）(1,y)
12、=(x,–y).(+)(),(+)·()=0,(x+)(x)+y·(y)=0,故P点的轨迹方程为． （II）考虑方程组消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0(*)显然1-3k20,=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0
