高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.1平面直角坐标系与曲线方程导学案 北师大版选修4-4

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1、§1　平面直角坐标系1.1　平面直角坐标系与曲线方程1．通过回顾平面直角坐标系，体会借助坐标系研究曲线和方程的关系．2．了解曲线和方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法．3．能利用已知条件求出曲线方程．1．平面直角坐标系(1)在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，如图所示．在平面直角坐标系中，有序实数对与坐标平面内的点具有________关系，如图，有序实数对(x，y)与点P相对应，这时(x，y)称作点P的________，并记为P(x，y)，其中，x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标．(2)曲线可看做是满足某些条件的点的____或____，由此我们可借助坐标系，研究曲线

2、与方程间的关系．(1)建立平面直角坐标系的意义：平面图形都是二维图形，建立直角坐标系就能准确表示一个点所处的位置．(2)水平轴为x轴，垂直轴为y轴，x轴、y轴统称为坐标轴．在x，y轴上，单位长度一般相同．【做一做1－1】已知点P(－1＋2m，－3－m)在第三象限，则m的取值范围是__________．【做一做1－2】已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是(　　)．A．1B．2C．3D．42．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C上的________都是方

3、程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的________的点都在曲线C上．那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线．【做一做2】已知B，C是两个定点，

4、BC

5、＝6，且△ABC的周长为16，顶点A的轨迹方程是(　　)．A．＋＝1(y≠0)B．＋＝1(y≠0)C．＋＝1(x≠0)D．＋＝1(x≠0)1．建立直角坐标系的作用剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位

6、置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究．2．建立适当的坐标系的一些规则剖析：(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上．答案：1．(1)一一对应　坐标　(2)集合　轨迹【做一做1－1】－3＜m＜　∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴即∴－3＜m＜.【做一做1－2】C　若点C在x轴上，可设点C(x,0)，由∠ACB＝90°，得

7、AB

8、2＝

9、AC

10、2＋

11、B

12、C

13、2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋1，解得x1＝0，x2＝2.故点C的坐标为(0,0)或(2,0)．若点C在y轴上，可设点C为(0，y)，由∠ACB＝90°，得

14、AB

15、2＝

16、AC

17、2＋

18、BC

19、2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(3－y)2＋(0－3)2＋(y－1)2，解之，得y1＝0，y2＝4.故点C的坐标为(0,0)或(0,4)．∴这样的点C有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点．2．(1)点的坐标　(2)解为坐标【做一做2】B　∵△ABC的周长为16，

20、BC

21、＝6，∴

22、AB

23、＋

24、AC

25、＝10.以BC所在的直线为x轴

26、，过BC的中点做BC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，设A(x，y)(y≠0)，则＋＝10(y≠0)，化简得顶点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．题型一利用坐标系解决代数问题【例1】已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM:MB＝1:2，求动点M的轨迹方程．分析：利用平面直角坐标系，设出A，B，M三点的坐标，再利用定比分点公式表示出点M的坐标关系，即点M的轨迹方程．反思：利用点在平面直角坐标系中的关系，找到其关系式，并用代入法解出相关点的轨迹方程是常见题型．题型二利用坐标系解决几何问题【例2】已知正△ABC的边长为a

27、，在平面上求一点P，使

28、PA

29、2＋

30、PB

31、2＋

32、PC

33、2最小，并求出此最小值．分析：此题是平面几何最值问题，用平面几何法不易解决，考虑用坐标法来解决．反思：(1)也可以以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，计算也不复杂．(2)配方法是求最值的重要方法，应掌握好．题型三利用坐标系解决实际问题【例3】我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O正东方向80海里的B处．沿东西方向向O岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我军舰沿直线前往拦截，以