高中数学第二章概率6正态分布导学案北师大版选修2

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1、§6正态分布自主整理1.离散型随机变量的取值是可以_______________的,但在实际应用中,还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值,是不可以一一列举的,这种随机变量称为连续型随机变量.2.如果一个随机变量X可以取某一区间中的一切值,那么在取出的样本中,样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率,设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线称为随机变量X的______________.这条曲线对应的函数称为X的______________,记为______________.3.如果知道了X的分布密度

2、曲线,则X取值于任何范围(例如｛a＜X＜b｝)的概率,都可以通过计算该曲线下相应的______________而得到,因此,我们说X的分布密度函数f(x)完全描述了X的规律.计算面积的方法,实际上是计算分布密度函数f(x)在一个区间上的______________.4.正态分布是现实中最常见的分布,它有两个重要的参数:______________和______________(σ＞0),通常用______________表示X服从参数为μ和σ2的正态分布.当μ和σ给定后,就是一个具体的正态分布.当n很大时,二项分布也可以用______________分布来近似描述.5.随机变量服从正态分

3、布,则它在区间(μ-2σ,μ+2σ)外取值的概率只有______________,而在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有______________,由于这些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中______________.高手笔记1.μ为总体的均值(或期望),即EX=μ.σ2(σ＞0)为总体的方差,σ为总体的标准差,即DX=σ2,=σ.2.正态分布的性质(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交.(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(3)曲线在x=μ处达到峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x

4、轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定:σ越小,曲线起“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.(7)若X—N(μ,σ2),则对于任何实数a＞0,概率P(μ-a＜x＜μ+a)=(x)dx.3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值P(μ-σ＜X＜μ+σ)=68.3%P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=95.4%P(μ-3σ＜X＜μ+3σ)=99.7%名师解惑1.正态分布的题型及求解策略剖析：(1)借助正态分布密度曲线的图象及性质解题.结合实例、图象,理解正态曲线的性质,并会运用性质去解决简单的问题,要特别注意正态曲线的对称性,以及当μ一定时,曲线的形状与

5、σ大小的关系.(2)对于有关正态分布的计算问题,要记住当正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.2.质量控制的基本思想——3σ原则剖析：一般认为凡服从正态分布的随机变量X取(μ-3σ,μ+3σ)之间的概率为0.997,所以只有0.003的概率在区间之外,称这样的事件为小概率事件,所以,在一个总量比较大的总体中取一件,一定落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,所以用这样的方法来检验总体是否合格.讲练互动【例1】某班有48名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布,平均

6、分为80,标准差为10,问从理论上讲成绩在80分到90分之间的有多少人?分析：要求成绩在80分到90分之间的人数,需先求出分数落在这个范围内的概率,然后乘以总人数即可.解:设X表示这个班学生的数学成绩,则X—N(80,102),成绩在80分到90分之间的学生的比例为P(80-10＜x＜80+10)=×0.683=0.3415,所以,成绩在80分到90分之间的人数为48×0.3415≈16(人).绿色通道:记住相关数据:P(μ-σ＜x＜μ+σ)=68.3%.变式训练1.某地区数学考试的成绩x服从正态分布,其密度函数曲线如下图.成绩x位于区间(52,68］的概率是多少?分析：这是道典型的由图

7、形求函数,由函数求概率的题目,我们发现x—N(μ,σ2),其中μ=60,f(x)=,∴σ=8.而区间(52,68］关于x=μ对称,∴P(52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.6826.解:∵x服从正态分布,设其密度函数f(x)=由图形知μ=60,顶点为(60,),∴σ=8.设x位于区间(52,68］上的概率为P(52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.68