高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课堂探究学案新人教a版选修4

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1、三　简单曲线的极坐标方程课堂探究探究一圆的极坐标方程在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出ρ与θ的函数关系，即为要求的极坐标方程．【例题1】求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．思路分析：如图，在圆A上任取异于O，B外的一点M，连接OM.设M(ρ，θ)，则∠MOB＝，即可求圆A的极坐标方程．解：如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有

2、OB

3、＝4，

4、OM

5、＝ρ，∠MOB＝，∠BMO＝，从而△BOM为直角三角形，所以有

6、OM

7、＝

8、OB

9、c

10、os∠MOB，即ρ＝4cos＝－4sinθ.因为点O(0,0)，B也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.化为直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.探究二直线的极坐标方程在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：在直线上任取一点M(ρ，θ)，连接OM，构造出含有OM的三角形，再利用三角形知识求

11、OM

12、，即把

13、OM

14、用θ表示，这就是我们所需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程，也可先求出直角坐标方程，再变换为极坐标方程．【例题2】求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程．思路分析：本题可用两种解法：(1)可先根据题意画出草

15、图，并设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点，从而由等量关系建立关于ρ，θ的方程并化简，最后检验是否是所求即可；(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程，然后由公式化为极坐标方程即可．解法一：如图，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A以外的任意一点，则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－θ.在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，所以ρsin＝，即ρ＝，化简，得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1.解法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平

16、面直角坐标系xOy，直线的斜率k＝tan＝1，直线方程为y＝x－1，将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ(ρ≥0)代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，所以ρ(cosθ－sinθ)＝1.点评解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而建立了以ρ，θ为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解．探究三直角坐标方程与极坐标方程的互化将极坐标方程化为直角坐标方程的方法有：①直接利用公式；②两边同乘以ρ；③两边同时平方等．将直角坐标方程化为极坐标时，直接用公式代入化简即可．【例题3】把下列

17、直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x2＋(y－2)2＝4；(2)ρ＝9(sinθ＋cosθ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5.思路分析：利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．解：(1)∵x2＋(y－2)2＝4，∴x2＋y2＝4y，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得ρ2－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.(2)∵ρ＝9(sinθ＋cosθ)，∴ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)，∴x2＋y2＝9x＋9y，即2＋2＝.(3)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x2＋y2＝1

18、6.(4)∵2ρcosθ－3ρsinθ＝5，∴2x－3y＝5.点评化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都表示以极点为圆心，5为半径的圆．探究四易错辨析易错点：忽略极坐标参数θ的取值范围【例题4】把直角坐标方程x＋y＝0化为极坐标方程．错解：将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y＝0，

19、得ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴ρ(cosθ＋sinθ)＝0.∴tanθ＝－1.∴极坐标方程是θ＝kπ－(k∈Z)．错因分析：由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里通常约定θ只在[0,2π)范围内取值．正解：将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y＝0，得ρcosθ＋ρsinθ＝0，∴ρ(cosθ＋sinθ)＝0，∴tanθ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)或θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)或θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．