高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程学案新人教a版选修4_4

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1、三　简单曲线的极坐标方程1．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线，过极点或圆心在极点的圆)的方程．2．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．1．圆的极坐标方程(1)曲线C的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中____________________，并且坐标________________________都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(1)由于平面上点的极坐标的表示形式

2、不惟一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M(，)可以表示为(，＋2π)或(，－2π)等多种形式，其中只有(，)的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．(2)今后我们遇到的极坐标方程多是ρ＝ρ(θ)的形式，即ρ为θ的一个函数．(3)由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝

3、ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．(2)圆经过极点O，圆与极轴的另一个交点是A(2a,0)，圆的半径是a，圆心坐标是C(a,0)(a＞0)，则圆的极坐标方程是________________．【做一做1－1】极坐标方程ρ＝1表示(　　)．A．直线B．射线C．圆D．椭圆【做一做1－2】在极坐标系中，求圆心为A(8，)，半径为5的圆的方程．2．直线的极坐标方程直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是α，则直线l的极坐标方程为________(ρ∈

4、R)．求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知识、利用三角形的面积相等等来建立ρ，θ之间的关系．【做一做2－1】极坐标方程sinθ＝(ρ∈R)表示的曲线是(　　)．A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线7【做一做2－2】曲线θ＝0，θ＝(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________．【做一做2－3】极坐标方程ρcosθ＝sin2θ所表示的曲线是__________．答案：1．(1)至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0　适合

5、方程f(ρ，θ)＝0的点(2)ρ＝2acosθ【做一做1－1】　C【做一做1－2】　解：在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，

6、OA

7、＝8，

8、AP

9、＝5，∠AOP＝－θ或θ－.由余弦定理得cos∠AOP＝，即ρ2－16ρcos(θ－)＋39＝0为所求圆的极坐标方程．2．θ＝α【做一做2－1】　A【做一做2－2】　【做一做2－3】　一条直线和一个圆　∵ρcosθ＝sin2θ＝2sinθcosθ，∴cosθ＝0或ρ＝2sinθ.cosθ＝0表示一条直线(y轴)；ρ＝2sinθ＝2cos(θ－)

10、表示圆心为(1，)，半径为1的圆．1．直角坐标系与极坐标系的区别剖析：(1)在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ，θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ，θ)对应．例如(ρ，2nπ＋θ)与(－ρ，(2n＋1)π＋θ)(n为整数)表示的是同一个点，所以在极坐标系内点与有序实数对(ρ，θ)不是一一对应的．(2)在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方

11、程，只看作一个方程)．可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应，所以曲线和它的方程不是一一对应的．(3)在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一个极坐标为(，)，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标(，)就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一种形式适合曲线C的方程即可

12、．2．求极坐标方程的步骤剖析：求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标ρ，θ的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：7(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程