高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程互动课堂学案新人教a版选修4_4

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1、三　简单曲线的极坐标方程互动课堂重难突破本课时的重点、难点是求曲线的极坐标方程,要重点掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.一、在极坐标系中,平面曲线的极坐标方程f(ρ,θ)=0.1.一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0称为曲线C的极坐标方程.2.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地,在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程.3.求曲线的极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程

2、的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹；将已知条件用曲线上点的极坐标ρ、θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ,θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.注意:(1)在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面

3、积相等来建立ρ、θ之间的关系.此法称作三角形法.(2)在求曲线的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示,再通过代数变换进行化简.二、用极坐标与直角坐标来表示点和曲线的区别.1.对极径ρ<0的理解.根据极径定义，极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π.负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的.这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表

4、示是相反的.一般情况下，如果不作特殊说明，极径都指的是正的.2.在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.例如(ρ,2nπ+θ)与(-ρ,(2n+1)π+θ)(n∈Z)表示的是同一个点，所以点与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.3.在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.如θ=(ρ

5、∈R)与θ=(ρ∈R)表示同一条直线.4.在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ，设点P的一极坐标为(,5)，那么点P适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标(,)就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C的方程.三、以下几种特殊位置的直线的极坐标方程是要掌握的.1.过点(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=a.2.过点(a,π)(a>0)且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=-a

6、,如图(1).3.过点(a,)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=a,如图(2).4.过点(a,)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=-a,如图(3).5.过极点倾角为α的直线方程是θ=α(ρ∈R).(1)(2)(3)四、以下几种特殊位置的圆的极坐标方程也需要掌握.1.以极点为圆心且半径为r的圆的极坐标方程ρ=r.2.过极点且圆心坐标为(a,0)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.3.过极点且圆心坐标为(a,π)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ,如图(1).4.过极点且圆心坐标为(a,)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ,如图(

7、2).5.过极点且圆心坐标为(a,)(a>0)的圆的极坐标方程为ρ=-2asinθ,如图(3).(1)(2)(3)活学巧用【例1】求：(1)过A(2,)且平行于极轴的直线方程；(2)过A(3,)且和极轴成的直线方程.解析:(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA的长度，还知∠AOx=，还可以得到MH的长度，从而在Rt△OMH中找到变量ρ、θ之间的关系.(2)在三角形中利用正弦