高中数学第一章计数原理1.3二项式定理第2课时课堂探究学案新人教a版选修2

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1、1.3二项式定理2课堂探究探究一与杨辉三角有关的问题解决与杨辉三角有关的问题的一般思路．【典型例题1】下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，若令bn＝an＋1－an，则b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn}是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．规律总结解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观

2、察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．探究二有关二项式系数的性质的问题(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．【典型例题2】(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．思路分析：求(a＋bx

3、)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，An＋1，再设第k＋1项系数最大，则由不等式组确定k的值．解：T6＝C·(2x)5，T7＝C·(2x)6，依题意有C·25＝C·26n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1120x4.设第k＋1项系数最大，则有解得5≤k≤6.∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.规律总结熟记二项展开式的通项是解决本题的关键，注意k只能取正整数．探究三

4、有关二项式系数和与展开式的系数和的问题赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．【典型例题3】设的二项展开式中各项系数之和为t，二项式系数和为h，若h＋t＝272，则二项展开式含x2项的系数为__________．思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．解析：由已知令x＝1，则展开式各项系数和t＝(3＋1)n＝4n，二项式系数和h＝C＋C＋…＋C＝2n，∴h＋t＝4n＋2n＝272

5、，解得n＝4.∴.则展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()4－r·()r＝34－rC，令＋＝2，则r＝4.∴含x2项的系数为1.答案：1规律总结求展开式中各项系数和或差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需要根据所求的展开式系数和或差的特征来进行．探究四易错辨析易错点　混淆二项展开式中奇次项与奇数项、偶次项与偶数项的概念【典型例题4】已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数和小38，求C＋C＋C＋…＋C的值．错解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则奇次项的系数和为a0＋a2＋a4＋…，偶次项

6、的系数和为a1＋a3＋a5＋…，令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋…)－(a1＋a3＋a5＋…)＝(－3)n，由已知可得，(－3)n＝－38＝(－3)8，∴n＝8，∴C＋C＋C＋…＋C＝28.错因分析：错解有三处错误．一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项．二是把C＋C＋C＋…＋C看成二项展开式各项二项式系数和，忽略了C.三是(－3)n＝－38＝(－3)8也不成立．解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．正解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为

7、B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.