高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理例题与探究 新人教a版选修2-3

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1、1.3二项式定理典题精讲【例1】用二项式定理展开(2x-)5.思路分析:可以直接看作2x与()的二项式展开，也可先化简，再利用二项式定理展开.解法一：直接展开（2x-)5=(2x)5+(2x)4()+…+(2x)()4+()5=32x5-120x2+.解法二：(2x-)5=［(4x3)5+(4x3)4·(-3)+…+(4x3)·(-3)4+(-3)5］=［1024x15-3840x12+5760x9-4320x6+1620x3-243］=32x5-120x2+.绿色通道：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简

2、捷.变式训练1求(2x-)5的倒数第二项.解:T5=(2x)·(-)4=.变式训练2在(2x-)5的展开式中是否存在常数项.若有，请求出;若没有，请说明理由.解：Tr+1=(2x)5-r(-)r=(-1)r·25-2r·3rx5-3r.若存在常数项，必存在r∈N*，使得5-3r=0，但5-3r=0,r=N*.∴展开式中不存在常数项.【例2】(1)用二项式定理证明1110-1能被100整除.(2)求9192被100除所得的余数.思路分析:解决利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系，要掌握好对式子的拆分，如本例的第（1）小题，可以利用1110=（10+1）10展开式

3、进行证明，第（2）小题则可利用9192=(100-9)92展开式,或利用(90+1)92展开式进行求解.（1）证明：∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+·109+…+·10+1)-1=1010+·109+·108+…+102=100(108+·107+·106+…+1).∴1110-1能被100整除.(2)解法一：(100-9)92=·10092-·10091·9+·10090·92-…+992,展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.∵992=(10-1)92=·1092-·1091+…+·102-·10+1,前91项均能被100整除,后两项

4、和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1000,结果为1000-919=81,故9192被100除可得余数为81.解法二:(90+1)92=·9092+·9091+…+·902+·90+.前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8281,显然8281除以100所得余数为81.绿色通道：利用二项式定理可以求余数和整除性问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.黑色陷阱：出现余数为负数的情况.余数不可能为负,如本题中余数的范围是(0,100).变式训练111100-1末尾连续零的个数为()A.7B.5C.4D.3解：11100-1=

5、(10+1)100-1=10100+1099+…+10+-1.答案:D变式训练2求证：nn-1-1能被(n-1)2整除(n≥3,n∈N*).证明：∵n≥3,n∈N*，故［(n-1)+1］n-1-1=(n-1)n-1+(n-1)n-2+…+(n-1)2+(n-1)+-1=(n-1)n-1+(n-1)n-2+(n-1)2+(n-1)2.由于上式各项都能被(n-1)2整除，所以当n≥3,n∈N*时，nn-1-1能被(n-1)2整除.【例3】(1)求二项式()6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求()9的展开式中x3的系数.思路分析:利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过

6、二项展开式的通项公式进行求解，同时注意某一项的二项式系数与系数的区别.解:（1）∵T6=()()5=,∴第6项的二项式系数为=6,第6项的系数为·2·(-1)=-12.(2)设展开式中的第r+1项为含x3的项,则Tr+1=x9-r()r=(-1)rx9-2r,∴9-2r=3.∴r=3,即展开式中的第4项含x3,其系数为(-1)3=-84.绿色通道：求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的内容.黑色陷阱：某项二项式系数与系数两者概念出现混淆.变式训练求(1-x)6(1+x)4的展开式中x3的系数.解法一：(1-x)6(1+x)4=［(1-x)

7、(1+x)］4(1-x)2=(1-x2)4(1-x)2=(1-x2+x4-x6+x8)(1-x)2,∴x3的系数为-·(-2)=8.解法二：∵(1-x)6的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)r·xr,r∈{0,1,2,3,4,5,6},(1+x)4的通项为Tk+1=xk,k∈{0,1,2,3,4}.令r+k=3,则∴x3的系数为-+-=8.【例4】(1)求(x+2y)7展开式中系数最大的项;（2）求(x-2y)7展开式中系数最大的项.思路分析:要使第r项