高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课堂探究教案新人教b版选修2

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1、1.3.1二项式定理课堂探究探究一二项式定理的应用形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点，进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化．记准记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答与二项式定理有关问题的前提．逆用二项式定理，要注意分析其结构特点，a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，且a，b的指数和等于二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式．指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整，缺项时通常需添加项来凑结构形式．【典型例题1】求5的展

2、开式．思路分析：对一个二项式进行展开时，可以利用二项式定理直接展开，也可以先化简，再展开．解：(直接利用二项式定理展开)5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3·2＋C(2x)23＋C(2x)4＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.探究二二项展开式中特定项的求法求二项展开式的特定项问题实质是考查通项Tr＋1＝Can－rbr的特点，一般需要建立方程求r，再将r的值代回求解，注意r的取值范围(r∈{0,1，…，n})．求二项展开式的特定项的三种常见类型分别为：(1)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变

3、元”的幂指数为零建立方程；(2)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程；(3)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项．特定项的次数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．【典型例题2】若n展开式中前三项系数成等差数列．求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式里所有x的有理项；(3)展开式中系数最大的项．思路分析：首先应根据题意，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的要求解答每一问．这三问都与二项展开式的通项公式有关，通项为Tr＋1＝C·()n－r·r.解：由已知条件知：C＋C·＝2

4、C·，解得n＝8(n＝1舍去)．(1)Tr＋1＝C·()8－r·r＝C·2－r·x4－r.令4－r＝1，解得r＝4.所以x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.(2)令4－r∈Z，且0≤r≤8，所以r＝0,4,8.因此，有理项为T1＝x4，T5＝x，T9＝.(3)记第r项系数为tr，设第k项系数最大，则有tk≥tk＋1，且tk≥tk－1.又tr＝C·2－r＋1，于是有即所以解得3≤k≤4.所以系数最大项为第三项和第四项，分别为T3＝7x，T4＝7x.探究三易错辨析易错点：对二项式定理理解不透造成错误【

5、典型例题3】求5展开式的常数项．错解：因为5＝5，所以展开式的通项为Tr＋1＝C·5－r·(－1)r.而5－r的展开式的通项为Tk＋1＝C·x5－r－k·k＝C·x5－r－2k.令5－r－2k＝0，即r＋2k＝5，且0≤r≤5,0≤k≤5－r.则有或或所以常数项为C·C·(－1)1，C·C·(－1)3和C·C·(－1)5，即－30和－20和－1.错因分析：错解中有两处错误：一是出现了C这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意二项式定理只对两项和的正整数次

6、幂适用，当r＝5时，5－r＝0，此种特殊情况应特殊处理；二是对概念的理解错误，一个展开式中常数项只能有一个，不可能出现两个或两个以上的常数项．正解：因为5＝5，所以展开式的通项为Tr＋1＝C·5－r·(－1)r(0≤r≤5)．当r＝5时，T6＝C·(－1)5＝－1；当0≤r＜5时，5－r的展开式的通项为Tk＋1＝C·x5－r－k·k＝C·x5－r－2k(0≤k≤5－r)．因为0≤r＜5，且r＋2k＝5，r∈Z，所以r只能取1或3，此时相应的k值分别为2或1，即或所以常数项为C·C·(－1)1＋C·C·(－1

7、)3＋(－1)＝－51.