高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.6排列组合的易错问题课堂导学案新人教a版选修2

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1、1.2.6排列组合的易错问题课堂导学三点剖析一、避免重复与遗漏的方法之一——正确区别有序还是无序【例1】将9份不同的礼品，平均分成3份，有多少种不同的分法？错解:分三步：第一步，从9件不同的礼品中，选出3件有种；第二步，从剩下的6件中选3件有种；第三步，从余下的3件中选3件有种，由乘法原理有=1680种不同的分法.剖析:实质上，本题属于平均分组问题，造成错误的原因在于分步的本身就在排序，而平均分成的3份，其份与份之间不存在排序的关系，因而出现了重复.如（为了方便起见，以数字1—9代表9份不同的礼品）先取1，2，3，再取4，5

2、，6，最后取7，8，9和先取4，5，6再取1，2，3，最后取7，8，9以及先取7，8，9，再取4，5，6，最后取1，2，3等这些相同的分法被重复计算了，因而正确的解法为：=280种不同的取法.温馨提示该用排列的问题，用组合去做，容易导致“遗漏”；该用组合做的却用了排列，会导致“重复”.因此，在解题时要正确区分问题是否与顺序有关.另外，在使用乘法原理时，分步本身有时是在排序，在解题时要特别小心.二、避免重复和遗漏的措施之二——恰当地使用两个原理进行分类或分步【例2】用0，1，2，3，4，5，6，7，8这九个数字组成九位数，要求

3、1不能排在个位，问这样的不重复的九位数有多少个？错解1:九个数字排在九个位置上，共有种排法，从中扣去0在首位的有种排法，再除去1在个位的排法，故所求的有-（个）.错解2:0不能排在首位，1不能排在个位，那么0，1就排在中间七个位置，有种排法.0，1排定后，其余七个数排在留下的七个位置上，有种排法，故所求九位数有个.剖析:解法1的错误在于减“重”了，当分别减去0在首位或1在个位时，重复减去了0在首位且1在个位两次，故应再补上一次，即所求九位数应是：-+（个）.解法2的错误在于遗漏了1在首位或0在个位的情况.1在首位的情况有种，

4、0在个位的情况有种，但这里又重复了1在首位且同时0在个位的情况两次，应再扣一次，故所求九位数应是：+2-（个）.温馨提示对符合或不符合条件的分类情况考虑不全时，会出现“遗漏”；另外，把符合条件和不符合条件的相混容易造成错误.三、避免重复遗漏的措施之三——认真审题，缜密考虑特殊情形以及题目的隐含条件【例3】将10个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子里，每个盒子中的球数不小于盒子的编号数，则有________种不同的放法.错解：先在编号为1，2，3的盒子里分别放入1，2，3个小球，则剩余的小球可以任意放.有34种放法.剖析：解

5、题过程中，先把盒子里放上小球是可以的，这是注意到小球都是相同的这一特点，但是接下来则忽视了这一特点，从而导致错误.正确解法是：先在编号为1，2，3的盒子里分别放入1，2，3个小球，则：①余下的4个球放入同一个盒子里，有种放法；②余下的4个球分为两组，一组3个、一组1个，放入两个盒子里，有种放法；③余下的4个球分两组，每组均为2个，有种放法；④余下的4个球分三组，一组2个、另两组各一个，有种放法.综上可以知道，共有15种放法.下列解法更妙：首先在2号盒子里放1个球，3号盒子里放2个球，余下的7个球可以用“隔板法”分为3组，每组

6、至少1个球，然后把三组依次放入3个盒子里即可.因此一共有15种放法.各个击破【类题演练1】把n+1本不同的书分给n个人，每人至少一本，有多少不同的分法？错解：如果我们把解决这个问题的方案设计为：先把多余的一本书给n个人中的一个，然后再把剩下的n本书分给n个人，这样，计算的结果为=n·(n+1)!.剖析：其错误的原因在于拿到2本书的人选这两本书有了先后顺序，而实际上先拿A书后拿B书与先拿B书后拿A书是同一种方法.于是，出现了重复.这是一道较典型的排列组合综合题，题设虽然简单，但思路却不可以从简.正确的切入点应该是：从n个人中选

7、出一个人拿到2本书的分法有种，而剩下的n-1本书分给剩下的n-1个人有种不同的分法，根据乘法原理有=·(n+1)!.【变式提升1】有100个学生，站成前后两排，每排50人，问有多少种不同的排法.错解：先从100个学生中任选50个学生，有种选法.选出的50个学生站在前排，有种排法.留下的50名学生站在后排，有种排法.前后两排再交换一下，有种排法，所以共有种不同的排法.剖析：错在哪里？我们先把问题特殊化：有两个学生，一个站前、一个站后，共有=2种不同站法，而不可能有=4种不同的站法.通过特殊到一般的类比，原问题的正确答案应是种，

8、如果再乘以就排“重”了.事实上，在中，已含着前、后两排交换的思想，因此没有必要乘以.【类题演练2】已知l1,l2是两条异面直线，在l1上有A1，A2，A3三点，在l2上有B1,B2,B3,B4,B5五点，求这八个点可以确定不同的平面的个数.错解：分成两类：一类是从A1，A2，A3三点中取一