高中数学第一章导数及其应用1.1第2课时导数的概念学案新人教a版选修2

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1、1．1第二课时导数的概念一、课前准备1．课时目标(1)从位移的变化、速度的变化等具体现象到本节研究函数的改变量、变化率，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，为学习导数概念打下坚实的基础；（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（3）掌握函数在处的导数及求导数的方法；2．基础预探(1)函数在处的导数为．(2)已知函数在的导数为，求．二、学习引领1．瞬时变化率设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变量为，如果当趋近于0时，平均变化率=趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以

2、小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率，比如，运动的瞬时速度就是路程函数的瞬时变化率．2．导数与导函数一般地，设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变量为；如果当趋近于零时，平均变化率趋近于一个常数，则常数称为函数在点处的变化率，而函数在点处的瞬时变化率则称为在处的导数，又称函数在该点处可导，记作，即==．如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．在区间内，则构成一个新的函数，我们则把这个函数称为函数的导函数，简称为导数．3．函数在处的导数及求导数的方法（1）函数在处的导数==．（2）对于导数的

3、概念要抓住以下三个层次：设函数在区间上有定义，，①函数的变化（增量）：对函数，自变量的增量=，相应的函数的增量是；②计算比值（增量之比）；；③当时，比值无限趋近于一个常数．所以正确理解导数的概念，掌握利用导数定义的三步曲求导的方法，即一是求函数的改变量；二是求平均变化率；三是当时，比值趋近于一个常数．上述求导方法则可以简记为一差、二化、三极限．4．“函数在点处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系．（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变量．（2）如果函数在区间内每一点处

4、均可导，这是称在区间内可导．对于区间内一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样的对应就构成了以区间为定义域的一个新函数，我们称它为的导函数．（3）函数的导数是对某一区间内任一点而言，就是函数的导函数．（4）函数在处的导数，就是导函数在处的函数值，．5．会求过曲线上一点的切线方程求切线方程可分为两步：第一步求出函数在点处的导数；第二步利用直线的点斜式，得切线方程为．求切线方程时，首先要判断所给的点是否在曲线上，若在曲线上，可用求切线方程的步骤求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程结合已知条件求出切点坐标，从而求得方程．三、典例导析题

5、型一：理解导数定义例1：设，求，，．思路导析：先根据导数的定义求得，再将自变量的值代入求得导数值．解：由导数定义有==．有，．规律总结：（1）正确运用导数定义=．（2）求即求导函数，当时的函数值．变式训练1：已知，，求适合的值．题型二：掌握求导数的三个步骤例2：求函数在处的导数。思路导析：本题可以利用导数的定义来解决。解：（1）函数的改变量；（2）平均变化率=；（3）当时，趋向于，则函数在处的导数为．规律总结：掌握利用导数定义的三步曲求导的方法，即一是求函数的改变量；二是求平均变化率；三是当时，比值趋近于一个常数．变式训练2：求函数的导数

6、．题型三：切线方程，把握关键例3：求曲线上一点处的切线方程．思路导析：要求曲线过某一点的切线，由于切点已知，故只要求出该切线的斜率即可．解：∵在曲线上，∴，则．即曲线方程可写成．先求函数的导函数：∵，∴===．当无限趋近于0时，无限趋近于，即，则，则在点处的切线方程是，即．规律总结：（1）以上方法是先根据点在曲线上求出，再用导数定义求出函数在处的导数（即该点处切线的斜率），再用点斜式写出点处的切线方程．（2）本题求函数图象上点的切线方程的解题步骤可以推广．变式训练3：求在处的切线的斜率．四、随堂练习1．已知函数，那么下列说法错误的是（）A

7、．叫做函数的增量B．叫做函数在到之间的平均变化率C．在处的导数记为D．在处的导数记为2．一物体的运动方程是，则在一小段时间内的平均速度为()A．B．C．D．3．函数的导数为(　　)A．B．C．D．4．已知函数，则=．五、课后作业1．设函数，若，则（）A．B．C．D．2．在点处的切线的斜率为()A．B．C．D．3．对于函数f（x），已知f（3）=2，=-2，则=．4．设函数在处及其附近有定义，并且则称函数在处可导，并且在处的导数记作．5．求函数在处的导数．6．求曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积.1．1第二课时导数的概念

8、一、2．基础预探(1)答案：函数的改变量；平均变化率=；当时，趋向于，则函数在处的导数为．(2)答案；，则，=，=．三、典例导析变式练习1．解：，得到同理得到，因为，所以，即，解得或．2．解：