高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数学案新人教a版选修2-2

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1、1.1.1变化率问题（1）【学习目标】1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.【重点难点】重点：掌握平均变化率的概念.难点：对平均变化率的概念的理解【学法指导】认真阅读课本，从日常生活中体会平均变化率.【学习过程】一．课前预习阅读课本1.1.1节找出疑惑.二．课堂学习与研讨1问题1.气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球

2、的半径增加得越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象？问题2高台跳水，求平均速度.新知1.平均变化率.试试：设，是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即或者，就表示示从到的变化量或增量，相应地，函数的变量或增量记为，即；如果它们的比值，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.思考：1.所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.2.观察图形，你能看出平均变化率的几何意义吗？课堂学习与研讨2例1．过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.动动手。已知函数的图象上一点及邻近一点，则=.例

3、2.已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）；（2）；（3）；（4）.动动手。1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率..2.已知函数分别计算在区间、上及的平均变化率.探究点三　平均变化率的应用例3　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3　甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1．函数f(

4、x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为__________2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．4．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）A．B．C．D．【课堂小结】1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：（1）求函数

5、值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；（2）计算平均变化率＝.【课后作业】1.函数f(x)=4x-3在区间[-5,-2]上的平均变化率为a,在区间[0,3]上的平均变化率为b,则有(　　)A.a>bB.a

6、，求物体在某一时刻的瞬时速度．【重点难点】重点：导数的概念以及求导数．难点：导数的概念．【学法指导】运用变化的观点，从瞬时速度的实际背景去理解导数的概念．【学习过程】一．课前预习：阅读课本1.1.2节找出疑惑之处．二．课堂学习与研讨一探究点一　瞬时速度问题1　在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？问题2　物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题

7、3　如何描述物体在某一时刻的运动状态？新知1.瞬时速度定义：物体在某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度．课堂学习与研讨二导数：问题2：瞬时速度是平均速度当趋近于时的．导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在的导数，记作或，即．注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在．（2）在定义导数的极限式中，趋于可正、可负、但不为，而可以为．（3）是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点及点的割线斜率．（4）导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映函数在点变化的快慢程度

8、．小结：由导数定义，高度关于时间的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率．课堂学习与研讨三例1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第时，原油的温度（单位：）为，计算第和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．小结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢．例2.已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．（1）当时，求；（2），求；（3）求质点在时的瞬时速度．动动手