高中数学第一章基本初等函数ii1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质第1课时学案新人教b版必修4

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1、1.3.1　正弦函数的图象与性质第一课时　正弦函数的图象与性质基础知识基本能力1．掌握用“五点法”作正弦函数简图的方法．(重点、难点)2．掌握由y＝sinx的图象理解正弦函数的性质，并会应用性质解决问题．(重点)3．了解周期函数的概念．(易错点)1．会求正弦函数的周期、单调区间和最值．(重点)2．能够运用整体思想，将ωx＋φ看作一个整体来求单调区间、周期等．(重点、难点)1．正弦函数的图象(1)正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y＝sinx，x∈R的图象如下图．其中在x∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，，(π，0

2、)，，(2π，0)．【自主测试1】y＝－sinx的图象的大致形状是图中的(　　)答案：C2．正弦函数的性质(1)定义域：R.(2)值域：[－1,1]，当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，正弦函数取得最小值－1.(3)周期性：最小正周期为2π.(4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称．(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间(k∈Z)上，都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间(k∈Z)上，都从1减小到－1，是减函数．【自主测试2】函数y＝sinx(0＜x≤2π)的值域是__________．答案：[－1,1]3．周

3、期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．是否所有的周期函数都有最小正周期？请举例说明．答：一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期的话，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝a(a为常数)就没有最小正周期．【自主测试3】f(x)＝

4、sinx，x∈R是(　　)A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数解析：由正弦函数的性质，可知f(x)的最小正周期为2π.又由f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x)，得f(x)是奇函数．答案：B1．探讨正弦函数图象的对称性剖析：因为y＝sinx为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，除了这个中心对称点之外，对于正弦函数图象，将y轴左移或右移π个单位长度，2π个单位长度，3π个单位长度，…，即kπ(k∈Z)个单位长度，正弦函数的图象的对称中心也可以是点(π，0)，点(2π，0)，…，点(kπ，0

5、)(k∈Z)，由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，它们是图象与x轴的交点．正弦函数的图象也具有轴对称性，对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，它们是过图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线．2．对周期函数概念的理解剖析：对于周期函数概念的理解要注意以下几个方面：①“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x的值，x＋T仍在定义域内且等式成立．②从等式“f(x＋T)＝f(x)”来看，应强调是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如f(2x＋T)＝f(x)恒成立，但T不是f(x)的周期．③周期函数的周期不是唯一的，如果T是函

6、数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．④周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．⑤对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．但是并不是所有周期函数都存在最小正周期．3．教材中的“？”(1)请同学们观察下图，说明将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象怎样变换就能得到函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象．剖析：函数y＝sinxy＝sinx＋1(也可以说，将函数y＝sinx的图象向上平移1个单位长度，便可得到函数y＝sinx＋1的图象)．(2)请同学们自己动手推导：函数y＝Asin(ωx＋φ)

7、(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期为T＝.剖析：设u＝ωx＋φ，因为y＝sinu的周期是2π，所以sin(u＋2π)＝sinu，即sin[(ωx＋φ)＋2π]＝sin(ωx＋φ)＝sin.这说明，当自变量由x增加到x＋，且必须增加到x＋时，函数值重复出现．因此y＝Asin(ωx＋φ)的周期T＝.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T＝.说明：若没有ω＞0这个条件，则周期T＝.归纳总结除定义法外，求三角函数周期的方法还有以下两种．(1)公式法：对于y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝.(2)观察法(图象法)