高中数学第一章基本初等函数ii1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质第2课时课堂探究学案新人教b版必修4

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质课堂探究探究一作正弦型函数的图象用“五点法”作正弦型函数的简图的方法步骤，以y＝Asin(ωx＋φ)为例，主要是通过变量代换，设X＝ωx＋φ，由X取0，，π，，2π来求出相应的x的值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．【例1】用“五点法”作函数y＝2sin的图象．分析：采用“五点法”作三角函数图象，关键在于确定“五点”．解：设X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX，当X取0，，π，，2π时，由x＝＝－，得x取－，，，，，列表如下：2x＋0π2πx－2sin020－20描点作图，先作出函数y=

2、2sin，x∈的图象，如图，然后将其向左、向右扩展，就得到了函数y＝2sin的图象(图略)．易错提示本例采用“五点法”作图，要注意，不是x取0，，π，，2π这五个值，而是X＝2x＋取这五个值．探究二正弦型函数的图象变换对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，应明确A，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x的变化，函数图象向左或向右平移个单位长度．【例2】说明y＝－2sin＋1是由y＝sinx的图象怎样变换而来的？分析：由函数y＝sinx到y

3、＝－2sin＋1需要经过平移变换、周期变换、振幅变换，可分步进行．解：变换过程可以先伸缩后平移，也可先平移后伸缩，变换一(先伸缩后平移)：y＝sinxy＝－2sinxy＝－2sin2xy＝－2siny＝－2sin＋1．变换二(先平移后伸缩)：y＝sinxy＝－2sinxy＝－2siny＝－2siny＝－2sin＋1．评注在三角函数图象变换中，先平移后伸缩变换与先伸缩后平移变换是不一样的，应特别注意．这一变换过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想．探究三求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式可利用函数的最大、最小值确定振幅A

4、及平衡位置，同时根据奇偶性、对称性及单调性得出相应不等式或等式，从而确定ω及φ的值．【例3】函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)在它的某个周期上，最高点为，且与y轴交于点(0，－)，与x轴交于点，求解析式．分析：本题虽然没有给出函数的图象，但指明了函数图象上的特殊点，因此，我们可以根据条件画出简图，再求出解析式．解法一：(数形结合，逐个确定字母法)如图，由题意结合图形可知，T=+=．所以T=3π，ω==．所以y=Asin．将最高点的坐标代入y=Asin，得A=Asin，即sin=1．所以=+2kπ，即φ＝(

5、k∈Z)．因为0<φ<2π，所以φ=，则y=Asin．将点(0，-)代入y=Asin得-=Asin，解得A=2．由以上可知，y=2sin．解法二：(待定系数，联想“五点作图法”)因为点和点相当于“五点作图法”中的第二点和第五点的坐标，所以解得ω=，=．所以y=Asin．把点(0，-)的坐标代入y=Asin得-=Asin．所以A=2．由以上可知y=2sin．反思通过本题的解决，我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维，这样才能做到举一反三．探究四正弦型函数的综合应用1．记住一个重要结论：对于函数f(

6、x)来说，若总有f(a＋x)＝f(a－x)，则该函数图象关于直线x＝a对称．2．求f(x)的最值时，注意定义域的作用．【例4】若函数f(x)＝sin(2x＋φ)对任意x都有＝．(1)求的值；(2)求φ的最小正值；(3)当φ取最小正值时，若x∈，求f(x)的最大值和最小值．分析：f(x)对任意x都有＝，意味着f(x)的一条对称轴为x＝，以此为切入点求出φ，再利用图象及性质求最值．解：(1)因为f(x)对任意x都有＝，所以x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴．所以＝±．(2)由f(x)＝sin(2x＋φ)的图象的对称轴知

7、2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)．因为直线x＝是函数f(x)的一条对称轴，代入，得φ＝kπ－(k∈Z)．所以φ的最小正值为．(3)由(2)，知f(x)＝sin，因为x∈，所以2x＋∈，所以f(x)max＝，f(x)min＝－．探究五易错辨析易错点：对三角函数周期的认识不当而致错【例5】求函数y＝2sin的单调区间．错解：当－＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递增，当＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递减，所以y的单调递增区间为，单调递减区间为．错因分析：忽略了“ω”的正负和“k∈Z”的条件，当y＝Asin(ωx＋φ)

8、中ω<0时，错以为ω为负值对单调性没有影响．正解：y＝2sin化为y＝－2sin．因为y＝sinu(u∈R)的单调递增区间、单调递减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)，所以函数y＝－2sin的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2kπ＋≤