高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2

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1、2.5　圆锥曲线的统一定义1．了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点)2．理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理　圆锥曲线的统一定义阅读教材P56“思考”以上的部分，完成下列问题．1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的

2、准线．2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±，＋＝1(a＞b＞0)的准线方程为y＝±.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为y＝±.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)椭圆＋y2＝1的准线方程是x＝±.(　　)(3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．(　　)(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直．(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．双

3、曲线－y2＝1的准线方程为________．【解析】　易知a2＝15，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝16，即c＝4，则双曲线的准线方程为x＝±.【答案】　x＝±3．焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x＝±的椭圆的标准方程为______.【导学号：09390050】【解析】　由题意知c＝2，则＝＝，故a2＝5，所以b2＝a2－c2＝1，则椭圆的方程为＋y2＝1.【答案】　＋y2＝14．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右准线为x＝，则右焦点的坐标为________．【解析】　据题意知

4、解得a＝1，c＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．【答案】　(2,0)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]已知焦点和准线求圆锥曲线的方程　已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：(1)e＝；(2)e＝1；(3)e＝.【精彩点拨】　【自主解答】　(1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝，所求方程为＋＝1.(2)离心率决定了它是

5、抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，＝1，可得y2＝－4x.(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝.所求方程为－＝1.1．本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式．2．已知焦点、准线及离心率，也可直接由＝e求出M点的轨迹方程．[再练一题]1．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且

6、AM

7、＝，

8、AF

9、＝3，求此抛物线的标准方程．【解】　设所求抛物线的标

10、准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知M.∵

11、AF

12、＝3，∴y0＋＝3，∵

13、AM

14、＝，∴x＋2＝17，∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.用圆锥曲线的统一定义求轨迹　已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹．【精彩点拨】　此题解法有两种：一是定义法，二是直译法．【自主解答】　法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c＝3，＝9，则a2＝27，a＝3，∴e＝＝，与已知条件相

15、符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.b2＝18，其方程为＋＝1.法二：由题意得＝.整理得＋＝1.P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．解决此类题目有两种方法：(1)是直接列方程，代入后化简整理即得方程.(2)是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.[再练一题]2．方程＝

16、x＋y－1

17、对应点P(x，y)的轨迹为________.【导学号：09390051】【解析】　由＝

18、x＋y－1

19、，得＝.可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y

20、－1＝0的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．【答案】　双曲线圆锥曲线统一定义的应用　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．(1)求MA＋MB的最大值和最小值；(2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标．【精彩点拨】　(1)利用椭圆的定义进行转化求解．(2)注意e＝，则MA＝＝d(d为点M到右准线的距离)，然后利