2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义学案 苏教版选修2-1

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1、§2.5　圆锥曲线的统一定义学习目标　1.了解三种圆锥曲线的统一定义，掌握三种圆锥曲线的区别与联系.2.学会利用圆锥曲线的统一定义解有关问题.3.掌握圆锥曲线的准线方程的概念．知识点一　圆锥曲线的统一定义观察图形，思考下列问题：思考1　上面两个图中分别对应什么曲线？答案　图(1)为椭圆，图(2)为双曲线．思考2　当01呢？答案　当01时，对应的曲线为双曲线．梳理知识点二　圆锥曲线的焦点坐标和准线方程标准方程焦点坐标准线方程椭圆＋＝1(a>b>0)(±c,0)x＝±＋＝1(a>b>0)(0，±c)y＝±双曲线－＝1(a>0

2、，b>0)(±c,0)x＝±－＝1(a>0，b>0)(0，±c)y＝±抛物线y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝1．若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e＞0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．(×)2．抛物线y2－2x＝0的准线方程为x＝－.(√)3．点M(x，y)到定点F(4,0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数，则点M的轨迹为＋＝1.(×)类型一　利用统一定义确定曲线形状例1　判断下列各动点的轨迹表示的是什么？(1)定点F，定直线为l，F∉l，动点M到定点F的距

3、离MF与动点M到定直线l的距离d的比为2；(2)定点F，定直线为l，F∉l，动点M到定直线l的距离d与动点M到定点F的距离MF的比为5；(3)到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹；(4)定点F∉l，到定点F的距离与到定直线l的距离的比大于1的点的轨迹．解　(1)因为＝2>1，所以动点的轨迹是双曲线．(2)因为＝5，所以0<＝<1，所以动点的轨迹是椭圆．(3)当F∈l时，动点的轨迹是过F且与l垂直的直线；当F∉l时，动点的轨迹是抛物线．(4)动点的轨迹不是双曲线，因为比值虽然大于1，但不一定是常数，动点的轨迹是一个平面区域．反思与感悟　判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲

4、线的定义求解，其思路是(1)如果遇到动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到圆锥曲线的共同性质．跟踪训练1　平面内到定点F(3,0)的距离与到定直线x＝8的距离d的比为的动点P的轨迹是________．答案　双曲线解析　因＝>1，故动点的轨迹是双曲线．类型二　与圆锥曲线的准线相关的问题例2　已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为y＝x，焦点到相应准线的距离为，求双曲线的方程．解　设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意得c－＝，又＝，结合c2＝a2＋b2，解得a2＝9，b

5、2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.引申探究本例中两准线之间的距离是多少？解　据本例，得方程－＝1，两准线之间的距离为2＝2×＝3.反思与感悟　求圆锥曲线的准线方程的步骤跟踪训练2　根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)经过点，且一条准线为x＝5；(2)两准线间的距离为，焦距为2.解　(1)由于椭圆的一条准线为x＝5，可见椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得a2＝5，b2＝4或a2＝21，b2＝.故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意有解得故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.类型三　圆锥曲线的统一定义及应用例3　已知点A(3,1)，且点F(2,

6、0)是双曲线x2－＝1的右焦点，在双曲线上找一点P，使PA＋PF的值最小，求点P的坐标．解　由双曲线方程知，a＝1，b＝，∴c＝2，离心率e＝＝2，与焦点F(2，0)对应的准线l：x＝＝.设点P到准线l的距离为d，由圆锥曲线的统一定义有＝2，∴PF＝d.如图，过点P，A作l的垂线PP1，AA1，垂足分别为P1，A1，则PA＋PF＝PA＋PP1≥AA1＝.∴当点P为AA1与双曲线的交点，即P时，PA＋PF的值最小．反思与感悟　一般地，在圆锥曲线上求一点P，使PA＋PF(其中A是圆锥曲线内部的定点，F是焦点，e是离心率)最小时，都是利用圆锥曲线的统一定义来处理的．跟踪训练3　已知A

7、(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．(1)求MA＋MB的最大值和最小值；(2)求MB＋MA的最小值及M的坐标．解　(1)如图所示，由＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.所以点A(4,0)为椭圆的右焦点，则左焦点为F(－4,0)．则MA＋MF＝2a＝10，即MA＋MB＝10－MF＋MB.因为

8、MB－MF

9、≤BF＝＝2，所以－2≤MB－MF≤2，故10－2≤MA＋MB≤10＋2.即MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.(2)由题意知，椭圆的右准线为x＝，过M