高中数学《空间几何体的表面积与体积》学案2 苏教版必修2

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1、《空间几何体的表面积和体积》知识要点精析一．学习目标根据新的课程理念的要求，要“用教材教”，而不能一味地“教教材”。那么，对于《立体几何初步》这一章的第3节《空间几何体的表面积和体积》来说，在学习的过程中，怎样准确地把握教与学的尺度呢？本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。为了符合学生的认知规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的选编及内容的呈现方式上，与以往相比有较大的变化。首先，通过观察和操作，使学生了解空间简单几何体（柱、锥、台、球）的结

2、构特征，以此作为发展空间想象能力的基本模型；然后，通过归纳和分析，使学生进一步认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系，作为思维辨证的基础。由于几何图形的面积和体积的计算需要应用垂直的概念，因而这一部分内容放入本章最后一节。本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理和逻辑推理的结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。二．知识点拨《

3、空间几何体的表面积和体积》这一节，新教材没有像以往那样重在介绍公式的推导过程，而是侧重介绍了公式推导的思想方法，采用了“阅读”的形式介绍了祖恒原理，让学生体会祖恒原理和积分思想。为了增强学生的数学应用意识，教材还通过“问题与建模”栏目介绍了两种体积计算的近似方法，既有利于提高学生的建模能力，又为学生解决生产、实践中的实际问题提供了知识基础和基本思想。教材内容突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索、研究空间几何图形的过程，涉及的数学思想主要有数形结合思想、符号化与形式化思想、化归思想等，涉及的一般科学方法主要有观察、

4、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等。本节内容涉及到以下一些面积与体积公式：，，，，，，，虽然以上公式较多，但对于大多数公式学生并不感到陌生，教学中只需要让学生初步了解公式推导的方法，体会祖恒原理和积分思想。另外，对展图方法与割补法，也要在解题的过程中加以渗透。课本中例2介绍了把圆柱沿母线展开，将问题转化为平面几何问题的思路；对于课本的例1，应重点分析六角螺帽毛坯的结构特征（正六棱柱挖去一个圆柱），渗透“割”与“补”的思想和方法。三．典例精析除了课本中给出的典型例题外，还可适当补充一些经典的事例，帮助学生更好地认识立体几何，

5、学习好立体几何。例1正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是面对角线BC上一动点，Q是底面ABVF上一动点，则D1P+PQ的最小值等于____________。图1图2分析：如图2，由题意可知：D1P+PQ取最小值时，点Q一定是P在底面上的射影。因为D1P与PQ分别在两个平面内，所以把△BC1C沿BC1翻转90°，使△BC1C与对角面ABC1D1在同一平面内，因为PQ⊥BC，所以当D1、P、Q三点共线且与BC垂直时，D1P+PQ最小，即为D1Q1=图3点评：利用“展图法”，成功地将立体几何问题化归成了平面几何问题，从

6、而使问题得到了很好的解决。例2如图3，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线AB=18，从AB中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点。（1）求绳子的最短长度；（2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离。分析（1）要求绳子AM绕圆台一周的最短长度，则可沿AB将圆台的曲面展开，得扇环面（即将曲面问题转化为平面问题），然后求出扇环面上AM’间的距离，AM’=，即绳子的最短长度为21。（2）要研究此时上底圆周上的点到绳子的最短距离，则需将扇环补充成扇形，这样将BB’上的点到AM’的最短距离问题转化为点S到AM’的最短距离（因为点S

7、到BB’上的点的距离等于半径SB）。故只需求出S到AM’的距离SQ，再减去半径SP即可。即上底圆周上的点到绳子最短距离PQ=SQ－SP=SQ－SB=。OABCD点评：此题用到将圆台“补成”圆锥再展开进行研究，这种割、补、拼凑的思想，是重要的数学思维方法。例3一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是____________________。分析：将正四面体ABCD“嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图4），则球O与正四面体的六条棱都相切等价于球O与正方体的六个面都

8、相切。易知正方体棱长为，所以球半径为，故图4球的体积为。ABSCMN例4如图5，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且MN⊥AM，若侧棱长SA=，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为ABC32D分析：由条件中的MN⊥AM，可以推得。图5又由正三棱锥S-ABC中对棱互