高中数学《向量的应用》学案1 苏教版必修4

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1、向量的应用●知识梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力.特别提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点.●点击双基1.若O是△ABC内一点，++=0，则O是△ABC的A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+.又++=0，∴+=－.∴－=.∴O为AD的中点，且A、O、D共线.又E为OD的中点，∴O是中线AE的三等分点，且OA=AE.∴O是△

2、ABC的重心.答案：D2.将椭圆x2+6y2－2x－12y－13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是A.（－1，1）B.（1，－1）C.（－1，－1）D.（1，1）解析：椭圆方程变形为（x－1）2+6（y－1）2=20.需按a=（－1，－1）平移，中心与原点重合.答案：C3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（－1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为A.3x+2y－11=0B.（x－1）2+（y－2）2=5C.2x－y=0D.x+2y－5=0

3、解析：C点满足=α+β且α+β=1，∴A、B、C三点共线.∴C点的轨迹是直线AB.答案：D4.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四边形ABCD是矩形.答案：C5.（2004年全国Ⅱ，理9）已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于A.B.－C.2D.－2解析：如图所示，令e过原点，与e方向相反，排除A、C，验证D即可.答案：D●典例剖析【例1】已知a、

4、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：b⊥（a+tb）.剖析：利用

5、a+tb

6、2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关

7、a+tb

8、的最小值问题，若能计算得b·（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb）.（1）解：设a与b的夹角为θ，则

9、a+tb

10、2=（a+tb）2=

11、a

12、2+t2

13、b

14、2+2a·（tb）=

15、a

16、2+t2

17、b

18、2+2t

19、a

20、

21、b

22、cosθ=

23、b

24、2（t+cosθ）2+

25、a

26、2sin2θ，所以当t=－cosθ=－=－时，

27、a+tb

28、有最小值.（2）证明：因为b·

29、（a+tb）=b·（a－·b）=a·b－a·b=0，所以b⊥（a⊥tb）.评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便.思考讨论对

30、a+tb

31、的变形，有两种基本的思考方法：一是通过

32、a+tb

33、2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一方法解答本题.深化拓展已知=a，=b，a·b=

34、a－b

35、=2，当△AOB面积取最大值时，求a与b的夹角.解：因为

36、a－b

37、2=4，所以a2－2a·b+b2=

38、4.所以

39、a

40、2+

41、b

42、2=4+2a·b=8，S△AOB=·sinθ=

43、a

44、

45、b

46、==≤=，（当且仅当

47、a

48、=

49、b

50、=2时取等号）所以当

51、a

52、=

53、b

54、=2时，△AOB的面积取最大值，这时，cosθ===，所以θ=60°.【例2】如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.（1）求⊙C的方程；（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需

55、求a、b即可.解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.∵与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°.又·=2，即

56、

57、

58、

59、cos∠CQM=2，于是r=

60、

61、=2.故⊙C的方程为x2+y2=4.（2）依题意2c=4，2a=

62、QN

63、+

64、QM

65、，而

66、QN

67、==2，

68、QM

69、=2，于是a=+1，b2=a2－c2=2.∴所求椭圆的方程为+=1.评述：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视.●闯关训练夯实基础1.（2004年辽宁，6）已知点A（－2，0），B

70、（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：=（－2－x，－y），=（3－x，－y），·=（－2－x）（3－x）+（－y）2=x2，整理得y2=x+6.∴P点的轨迹为抛物线.答案：D2.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处