高中数学《函数模型及其应用》学案9 苏教版必修1

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1、函数模型及其应用【学习导航】知识网络建立数学模型得出数学结果解决实际问题实际问题学习要求1．了解解实际应用题的一般步骤；2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.自学评价1．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2.数学建模就是把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键．3.实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域．【精典范例】例1．写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系．【解】点评:函数的定义域是函数关系

2、的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．听课随笔例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本(万元)、单位成本（万元）、销售收入（万元）以及利润（万元）关于总产量（台）的函数关系式.分析：销售利润销售收入成本,其中成本(固定成本可变成本).【解】总成本与总产量的关系为.单位成本与总产量的关系为.销售收入与总产量的关系为.利润与总产量的关系为．例3．大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上

3、空气温却几乎没变（设地面温度为）．求：（1）与的函数关系式；（2）以及处的气温．【解】（1）由题意，当时，，∴当时，，从而当时，．综上，所求函数关系为；（2）由（1）知，处的气温为，处的气温为．点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．追踪训练一1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为件时的成本函数是（元），若每售出一件这种商品的收入是元，那么生产并销售这种商品的数量是件时，该企业所得的利润可达到.2．某

4、医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（为线段，为某二次函数图象的一部分，为原点）.（1）写出服药后与之间的函数关系式；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.解：（1）由已知得（2）当时，，得；当时，，得，∴∴，∴，因此服药一次治疗疾病有效的时间约为小时.【选修延伸】一、函数与图象高考热点1:（2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年个月中

5、每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（）A.气温最高时，用电量最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加答案：C分析：该题考查对图表的识别和理解能力.【解】经比较可发现，月份用电量最多，而月份气温明显不是最高.因此项错误.同理可判断出项错误.由、、三个月的气温和用电量可得出项正确.思维点拔：数学应用题的一般求解程序（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的

6、文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．追踪训练二1.有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙O的直径，上底的端点在圆周上，写出这个梯形周长和腰长间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径与腰长表示上底，由对称性：，故只要求出．听课随笔解：设腰长，作垂足为，连结，则，∴∽，∴，，∴∴周长，∵是圆内接梯形∴，即，解得，即函数的定义域为本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题.【师生互动

7、】学生质疑教师释疑