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《高中数学 36《函数模型及其应用》学案 苏教版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第36课时函数模型及其应用（二）【学习目标】1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题；2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力．【课前导学】1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和．答案：2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和．答案：3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的
2、总产值，可以用公式表示．答案：【课堂活动】一．建构数学：总结解应用题的策略：一般思路可表示如下： 因此，解决应用题的一般程序是： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．二．应用数学：例1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是,经过一定时间后的温度是,则,其中表示环境温度,称为半衰期.现有一杯用热水冲的
3、速容咖啡,放在的房间中,如果咖啡降到需要,那么降温到时,需要多长时间?解：由题意知,即,解之,得,故,当时,代入上式,得,即，两边取对数,用计算器求得因此,约需要,可降温到．【解后反思】本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2现有某种细胞个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由个细胞分裂成个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.分析
4、：现有细胞个，先考虑经过、、、个小时后的细胞总数．解：小时后，细胞总数为；小时后，细胞总数为；小时后，细胞总数为；小时后，细胞总数为;可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为：，由，得，两边取以10为底的对数，得，∴，∵，∴.答：经过小时，细胞总数超过个.【解后反思】本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数与时间之间的函数关系式；解类似这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法
5、．例3某公司拟投资万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率，按单利计算，年后收回本金和利息；另一种是年利率，按每年复利一次计算，年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资年可多得利息多少元？参考数据：，分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．解：本金万元，年利率，按单利计算，年后收回的本息和是万元，本金万元，年利率，按每年复利一次计算，年后收回的本息和是万元，因此，按年利率的复利一次计算要比按年利率的单利计算更有利，年后多得利息万元．【解后反思】我国现行
6、的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．例4容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度．解：（1－）10·m％例5在经济学中,函数的边际函数定义为=.某公司每月最多生产台报警系统装置,生产台()的收入函数(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入与成本之差.（1）求利润函数及边际利润函数;（2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值?解：由题意知,,且.(1)=，；(2)当或时,的最大值为(元).因为是减函数,所以当时,的
7、最大值为(元).因此,利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.例6某个经营者把开始六个月试销A．B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A．B两种商品各多少才最合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润
8、(结果保留两位有效数字).解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y=–a(x–4)2+2(a＞0)①y=bx②把x=1，y=0.65代入①式，得0.65=–a(1–4)2+2，解得a=0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y=–0.15(x–4)2+2表示，再把x=4
