高中数学《三角函数模型的简单应用》学案8 新人教a版必修4

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1、第14讲函数模型及其应用（第一课时）一、学习目标：①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会中普遍使用的函数模型)的广泛应用．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用。二、基础知识：1．常用的函数模型有：（一次函数），二次函数，（指数函数），（对数函数），幂函数。2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数，但是它们的（增长速度）不同，而且不在同一个“档次上”。随着的增大，增长速度，

2、（越来越快）会越过并且远远大于的；（增长速度）而的增长速度会，（越来越慢）因此，总会存在一个，当时，有。（）。3．函数模型的应用实例的基本题型：（1）给定函数模型解决实际问题；（2）建立（确定性）的函数模型解决实际问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题。4．解应用题的基本步骤：审题、设量、建模、解模、还原．二、基础练习：1．某种商品，现在定价每件元，每月卖出件，根据市场调查显示：定价每上涨成，卖出的数量将会减小成，如果涨价后的销售总金额是现在的倍，则用来表示的函数关系式为。解：根据题意可列式。∴，从而。2．某公司租地建仓库，每月土地占有费与仓库到车站的距离成反比；而每月库存货物的

3、运费与到车站的距离成正比。如果在距车站处建仓库，这两项费用分别为万元和万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站处5解：由已知，0.8（为仓库与车站的距离）。费用之和为0.8，当且仅当0.8，即时，等号成立。3．根据调查，某厂生产的一种产品月份盈利为万元（），近似地满足.，为了获得一年的最大利润，那么该产品每年只需生产个月。8解：∵，欲有利润，则，即，∴，因此，只需从3月份开始生产到10月份，共生产8个月。四、例题选讲：1（金榜P53）．电信局为了配合客户不同意需要，设有、两种优惠方案。这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）。(注：图中∥

4、，)试问：（1）若通话时间为小时，按方案、各付话费多少元？（2）方案从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围，方案才会比方案优惠。解：由图知，，，，∥。设这两种方案应付话费与通话时间的函数关系分别为，，则（1）通话2小时两种方案的话费分别为116元和168元。（2）因为。∴方案从500分钟以后，每分钟收费元。（3）由图知，当时，，当时，，∴当时，由，得，即当通话时间在内，方案比方案优惠。2．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。（1）求年产量为多少吨时，

5、生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）生产每吨产品的平均成本为：，由于，当且仅当时，即时等号成立。（2）设年利润为，则，由于在上为增函数，故当时，的最大值为1660。答：（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。3．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为万元，但每生产100台，需增加可变成本（即另增加投入）万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入为（万元），其中是产品售出数量（单位：百台）。（1）

6、把年纯利润表示为年产量单位：百台）的函数；（2）年产量为多少时，工厂所得纯利润最大？（纯利润=销售收入—成本）解：（1）当时，纯利润；当时，。∴（2）当时，，∴当时，最大值为（万元）；当时，（万元）。∴年产量为台时，工厂的纯利润最大。五、教学反馈1．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆形的面积之和最小，正方形的周长应为。解：设正方形的周长为，则圆的周长为，半径，∴。当时，有最小值。2．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月须交的固定费用）30元，在市区通话时每分钟另收话费0.18元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市区

7、通话时每分钟话费0.20元，若某拥护每月手机费预算为100元，则在这两种手机卡中，购买卡较合算。神州行3．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数为二次函数关系为：，则每辆客车营运年可使其营运年平均利润最大。5解：所求为，∴当，即时，年平均利润最大为。第14讲函数模型及其应用（第二课时）一、基础练习：1．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商场商品因供不应求，连续两次提价10%，而乙商品由于外观过时而