高中数学《三角函数模型的简单应用》学案2 新人教a版必修4

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1、三角函数模型的实际应用利用三角函数的有关理论和知识，可以解决现实生活中的许多问题，而解决问题的关键是建立合理的数学模型．．下面就构建三角函数模型解决实际应用问题例析如下：例1　受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时仕进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度（米）是时间，单位为小时）的函数记作，下面是该港口在某季节每天水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.910.17.010.0（1）根据以上数据,是选用一个函数模型来近似描述水深与时间得函数关系

2、。（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为或以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为，若该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？分析：通过表格找到Ａ、、后利用三角函数图象来解决第（2）个问题．解（1）由数据知函数的周期Ｔ＝12,Ａ＝３，，∴．（2）由题意，该船进出港时水深应不小于米，由有，∴，即．在同一天内取或１有，或，又水深最浅为，大于．∴该船最早能在凌晨１时进港，最晚下午17时出港,在港口最多可停留16小时.点评:本题通过观察数据建立三角函数模型,

3、求函数自变量取值范围而获得解决,由于潮汐规律近似于某种三角函数的图象,而三角函数知识十分丰富,因此题目显得新颖.例2　某一地区，有四个农庄恰好坐落在边长为２千米的正方形的顶点上，为发展经济，政府决定建立一个使得任意两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成，要求各农庄到中心道的距离相等．问中心道长为何值时，道路网总长度最短？解析：由图形的对称性，引入角参数，可将应用问题转化为求关于正弦或余弦的最值．如图，设，则道路网总长度ABＤＦＧＥ，于是问题化为求的最小值．将变形，得．由正弦函数的有界性得，解得或．又，所以．当且仅当时，，此时，．故

4、当，即中心道长为千米时，道路网总长度最短．评注：在实际应用问题中，常常引入辅助角参数沟通变量之间的联系，这时，常可利用辅助角的正、余弦的有界性求出最小值。构造辅助角模型，利用正、余弦函数的有界性求出的最值，一定要验证取最值时的角是否存在且在给定的区间内，以防上当受骗．　　三角学产生的起因是人们对三角形中的角和边进行精确的测量与计算，后来逐渐发展为定义在实数集上的三角函数．三角函数有着相当广泛的应用，其应用不仅在简谐运动、交流电、单摆等方面，许多有节律变化的自然现象，也可以用三角函数模型来模拟，下面介绍一例．　　例　估计某一天的白昼时间的小时数的表达式

5、是：，其中表示某天的序号，表示1月1日，依次类推，常数与某地所处的纬度有关．　　(1)　在波士顿，，试画出函数当时的图象；　　(2)　在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？　　(3)　估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10．5小时．解：（1）先用“五点法”作出的简图，如右图，由及，可解得及．列表如下（其值为近似解）：791702623534440300若，．因为的周期为365，所以．将在上的图象向上平移12个单位长度，就得到的图象．　　（2）白昼时间最长的一天，即取最大值的一天，此时，对应的是6月20日（闰年除外）．类似地，时，取最小值，即12月

6、20日白昼最短．（3），即，，　　，由于，所以约有243天的白昼时间超过10．5小时．