高中数学 第一章 数列 归纳总结1学案 北师大版必修5

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1、第一章数列归纳总结知识结构知识梳理一、数列的概念与函数特征1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列，数列还可以看作一个定义域为N＋（或它的有限子集{1,2,…,n}）的函数的一列函数值.2.通项公式：如果数列{an}的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.3.an与Sn之间的关系：如果Sn是数列{an}的前n项和，则Sn=a1+a2+…+an.S1,(n=1)数列{an}的前n项和Sn与an之间的关系是an=.Sn-Sn-1，(n≥2)4.数列的分类(1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限

2、的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类：①一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an+1>an，那么这个数列叫作递增数列.②一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an+1

3、知an=f(n)，若f(x)的单调性可以确定，则{an}的单调性可以确定.(2)比较法①作差比较法n∈N＋，an+1-an>0{an}为递增数列；n∈N＋，an+1-an=0{an}为常数列；n∈N＋，an+1-an<0{an}为递减数列.②对各项同号的数列，可用作商比较法.n∈N＋，an>0(<0)，>1(<1){an}为递增数列；n∈N＋，an>0(<0)，=1{an}为常数列；n∈N＋，an>0(<0)，<1(>1){an}为递减数列.二、等差数列1.定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列，

4、其中的常数叫等差数列的公差，它常用字母d表示.即定义的表达式为an+1-an=d(n∈N＋)或an-an-1=d(n≥2，n∈N＋).2.通项公式：若数列{an}为等差数列，则an=a1+(n-1)d.3.前n项和公式：若数列{an}为等差数列，则前n项和Sn==na1+d.4.等差中项：若三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A=.5.等差数列的性质:(1)已知等差数列{an}的公差为d，且第m项为am，第n项为an，则an=am+(n-m)d;(2)在等差数列{an}中，若m+n=p+q，（m,n,p,q∈N+）则am+

5、an=ap+aq;(3)若数列{an}满足Sn=an2+bn，则{an}为等差数列，且a1=a+b，d=2a;(4)若数列{an}满足Sn=an2+bn+c(c≠0)，则{an}从第2项起成等差数列;(5)等差数列和的最大值、最小值.1°　在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn有最大值；若a1<0，d>0，则Sn有最小值.2°　求Sn的最值的方法：①因为Sn=n2+（a1-）n，所以可转化为二次函数求最值，但应注意n∈N+;an≥0,　an≤0，②利用则Sn为最大值；　则Sn为最小值.an+1<0,　an+1>0,三、等比数列1.定义：

6、若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，用字母q表示.2.等比中项：若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项，且G=±.3.通项公式：等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1.4.前n项和公式：若等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，当q=1时，Sn=na1;当q≠1时Sn==.5.等比数列的重要性质：(1)在等比数列{an}中，若k+l=m+n，（k,l,m,n∈N+）则ak·al=am·an.(2)数列{an}为等比数列，则an=a1qn-1=·qn

7、.①q>1,a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列；③q=1时，{an}是常数列；④q<0时，{an}是摆动数列.6.等差、等比数列的判定方法的区别.判定方法：(1)定义法：an+1-an=d(d为常数){an}为等差数列；=q(q为非零常数){an}为等比数列.(2)中项公式法：2an+1=an+an+2(n∈N+){an}为等差数列.a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0，n∈N+){an}为等比数列.(3)通项公式法：an=pn+q(p、q为常

8、数){an}为等差数列；an=cqn(c、q均是不为0的常数，n∈N+){an}为等比数列;Sn=kqn-k(k为常数，且q≠0,1){an}为等比数