高中数学 第一章 数列 2_1 等差数列(二)学案 北师大版必修5

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1、2.1　等差数列(二)学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一　等差数列通项公式的推广思考1　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?　思考2　由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？梳理　等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.知识点二　等差数列的性质思考　还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数

2、列，你有什么猜想？　梳理　在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋________＝ap＋________.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.知识点三　由等差数列衍生的新数列思考　若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？梳理　若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋){pan＋

3、qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)类型一　等差数列推广通项公式的应用例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．　反思与感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．跟踪训练1　数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于(　　)非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。A．0B．3C．8D．11类型二　

4、等差数列与一次函数的关系例2　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？反思与感悟　判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)从递推公式上看，an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；(2)从任意连续三项关系上看，2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列；(3)从通项公式代数特点上看，an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．如：其中某连续三项不成等

5、差数列；存在n∈N＋，an＋1－an的结果不等于同一个常数等．跟踪训练2　若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的k值为________．类型三　等差数列性质的应用引申探究1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.例3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝

6、45，求此数列的通项公式．　反思与感悟　解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练3　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．1．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)A．3B．－6C．4D．－32．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　)A．32B．－32C．35D．－3

7、53．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)A．3B．－3非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。C.D．－1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋

8、)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.4．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程