高中数学 空间向量与立体几何 3.1.5　空间向量运算的坐标表示同步精品学案 新人教a版选修2-1

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1、§3．1.5空间向量运算的坐标表示知识点一空间向量的坐标运算设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.解(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.【反思感悟】以下两个充要条件在解题中经常使用，要

2、熟练掌握．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b⇔x1＝λx2且y1＝λy2，且z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．解（1）设M是线段AB的中点，则＝(＝(＋)＝(2，，3)，所以线段AB的中点坐标是(2，，3)．

3、AB

4、＝＝.(2)点P(x，y，z)到A，B两点距离相等，则＝，化简，得4x＋6y－8z＋7＝0.即到A，B两点距离相

5、等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.知识点二证明线面的平行、垂直在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE.证明,不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），D1（0，0，2），所以＝(－2,0,0)，＝(0,1，－2)，·＝0＋0＋0＝0，所以D1F⊥AD.又＝(0,2,1)，所以、＝0＋2－2＝0，所以D1F⊥AE.又AD∩AE＝A

6、，所以D1F⊥平面ADE.【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明设O为坐标原点，依题意=（-2，3，1），=（2，-5，3），∴==(2,5,3)(2,3,1)=(4,8,2).同理可得=(4,8,2),=(6,6,5),=(6,6,5).由=，=，可知∥，∥，所以四边形ABCD是平行四边形.知识点三向量坐标的

7、应用棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心．(1)求证：B1O3⊥PA；(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；(3)求PO2的长．(1)证明以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则B1(1,1,1)，O3(，,0)，P(0,0，)，A(1,0,0)，＝(－，－，－1)，＝(－，－，－1)，＝(1,0，－)，∴·＝－＋0＋＝0，即⊥∴B1O3⊥PA.(2)

8、解∵O1(，，1)，O2(，1，)，则=（0，，）.又∵=（，，），∴cos〈，〉=＝＝，∴异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值为.(3)∵P(0,0，)，O2(，1，)，＝(，1,0)．∴

9、

10、＝＝.【反思感悟】　在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．　直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是AA1的中点．(1)求BN的长；(2)求BA1，B1C

11、所成角的余弦值．解　以C为原点建立空间直角坐标系，则(1)B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴BN＝＝.(2)A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．∴＝(1，－1,2)，＝(1，－1,2)，＝(0，－1，－2)，·＝1－4＝－3，

12、

13、＝，

14、

15、＝，∴cos〈，〉＝＝＝－.∴BA1，B1C所成角的余弦值为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．已知点A(x1，y1，z1)，则点A关于xOz平面的对称点A′的坐标为(　　)A．(－x1，－y1，－z1)B．(

16、－x1，y1，z1)C．(x1，－y1，z1)D．(x1，y1，－z1)答案　C解析　点A与A′关于xOz平面对称，即AA′⊥平面xOz.且A、A′到面xOz的距离相等，所以A与A′的x，z的值相同，y的值互为相反数．2．已知a＝(2