高中数学 数学归纳法预习学案 新人教a版选修2

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1、§2.2.3数学归纳法自学目标(1)了解数学归纳法原理,理解数学归纳法的概念;(2)掌握数学归纳法的证明步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.学习重点,难点一.问题情境1.情境:我们已经用归纳法得到许多结论,例如,等差数列的通项公式,自然数平方和公式.这些命题都与自然数有关,自然数有无限多个,我们无法对所有的自然数逐一验证.2.问题:怎样证明一个与自然数有关的命题呢?二.讨论以下两个问题的解决方案:我们有时会做一种游戏,在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起),假定这排砖有无数块,我们要使所有的砖都倒下,只要做两件事就行了.第一,使第一块

2、砖倒下;第二,保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖.三.建构数学一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:如果(1)当取第一个值(例如等)时结论正确;(2)假设当(,且)时结论正确,证明当时结论也正确.那么,命题对于从开始的所有正整数都成立.数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据.四.数学运用1.例题:例1.用数学归纳法证明:等差数列中,为首项,为公差,则通项公式为.①证:(1)当时,等式左边,等式右边,等式①成立.(2)假设当时等式①成立,即,那么,当时,有.这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2),可知对任何,

3、等式①都成立.注意:(1)这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础,步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证;(2)在数学归纳法证明有关问题的关键,在第二步,即时为什么成立?时成立是利用假设时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立,而不是直接代入,否则时也成假设了,命题并没有得到证明;(3)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.变式练习:用数学归纳法证明:等比数列中,为首项,为公比,则通项公式为.例2.用数学归纳法证明:当

4、时,.证:(1)当时,,,结论成立.(2)假设时,结论成立,即,那么.所以当时,命题也成立.根据(1)和(2),可知结论当时都成立.变式练习:用数学归纳法证明:当时例3.求证当取正奇数时,能被整除。证明:(1)时,,能被整除,命题成立。(2)假设(为正奇数)时,有能被整除,当时,∵以上两项均能被整除,∴能被整除,即当时命题仍成立。由(1)、(2)可知,对一切正奇数,都有能被整除.变式练习.求证:对于整数时,能被133整除.例4.已知,求证:.证明:(1)当时,,即时命题成立.(2)假设当时命题成立,即,当时,故当时,命题成立.由(1)和(2

5、)可知,对,不等式都成立.变式练习:证明对,成立.

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