高中数学 平面向量的知识梳理及典例分析学案

《高中数学 平面向量的知识梳理及典例分析学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、平面向量的知识梳理及典例分析1.向量的概念   （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用字母a、b、c等表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如（A为起点，B为终点）   （2）向量的大小（或称模）：也就是向量的长度，记作

2、

3、   （3）向量的两个要素：大小和方向   （4）零向量：长度为零的向量，记作0   （5）单位向量：长度等于一个长度单位的向量   （6）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（也叫共线向量）规定0与任何向量平行   （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量，记作a=b   （8

4、）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量 2.向量的运算   （1）向量的加法      （3）实数与向量的积   （4）平面向量基本定律：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量a，有且只有一对实数我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底向量的数量积、定比分点和平移： 1.平面向量的数量积   （1）定义   ①已知两个非零向量a、b，过O点作，则∠AOB=（）叫做向量a与b的夹角，其中，当且仅当a、b同向时；当且仅当a、b反向时，；如果a、b的夹角为90°，则称a垂直于b，记作a⊥b。②a、

5、b是两个非零向量，它们的夹角为，则称数叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即。规定：；当a⊥b时，，则a·b=0a·b的几何意义：a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积   （2）性质：设a、b是两个非零向量，e是单位向量，于是有①②③当a与b同向时，；当a与b反向时，④⑤ 2.线段的定比分点   （1）定义：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数，使，叫做P分有向线段所成的比。   （2）关于的确定：①当点P在线段内时，称点P为线段的内分点，此时，并且②当点P在线段的延长线上时，称点P为线

6、段的外分点，此时<0，并且 3.线段的定比分点公式：   设点P分有向线段所成的比为，即，并且，，则，这就是有向线段的定比分点坐标公式。特别地，当P为的中点时，有，这就是中点坐标公式。 4.向量的平移   （1）图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将图上所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移   （2）平移公式：设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F’上的对应点P’(x’,y’)，且的坐标为（h，k），则有，这个公式叫做点的平移公式。   它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关

7、系，一般来说，若将向量a按a进行平移，则a的方向与长度均不改变。 （二）易混知识点梳理［易混点1］向量与数量   数量与向量的联系与区别：向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量是既有大小，又有方向的量，数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它们的模才能比较大小，所以记号“a>b”就没有意义，而

8、a

9、>

10、b

11、才是有意义的。 ［易混点2］平行向量与两线段平行   方向相同或相反的非零向量叫平行向量。我们规定0与任一向量平行，由此定义可知，平行向量主要是看它们的方向，并没有考虑它们的大小。   两向量平行与两线段平行不同：两线段平行，则这两条线段

12、不能在同一直线上；而两向量平行，则表示它们的有向线段可以在一条直线上。   向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是：有且只有一个实数使得。   若b为0，则b与任意的a都平行，当时，这样的是不存在的。即在b=0时，是a//b的充分而非必要条件。   在坐标表示下，设，则的充要条件是。 ［易混点3］平行向量与相等向量   方向相同或相反的非零向量叫平行向量，即共线向量，并且规定0与任一向量平行，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等。   平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要不充分条件。 ［

13、易混点4］数字0与零向量   数字0是一个既非正数又非负数的数，0是唯一的方向不确定的向量，且

14、0

15、=0。 ［易混点5］向量的坐标与点的坐标   点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相等。相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，如M（0，1），N（5，8），；，R（4，9），，虽然，但M、N、Q、R四点的坐标各不相同。 ［易混点6］向量的数量积与实数a、b的乘积ab   （1）从形和数两方面看，数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一个向量在其上的射影；

16、从坐标形式上看，若设，，则，因此两向量的数量积是一个数量，而不是向量。   （2）从运算律上看，实数的积满足结合律，即，但