高中数学 3.4 生活中的优化问题举例目标导学 新人教a版选修1-1

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1、3.4　生活中的优化问题举例问题导学一、面积、容积的最大值、最小值问题活动与探究1请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．迁移与应用1．要做一个圆锥形漏斗，

2、其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为(　　)A．cmB．100cmC．20cmD．cm2．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？利用导数解决几何问题，往往是求体积、面积的最值，首先看清题意，分析几何图形的特征，设出变量，列出目标函数式，注明定义域，再转化为用导数求最值．若在定义域内只有一个极值，则这个极值便为最值．二、费用最省、用料最省、利润最大问题活动与探究2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2．其中3＜

3、x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．迁移与应用为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；

4、(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．经济中优化问题的解法：经济生活中，要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出解析式是解题的关键．答案：课前·预习导学【预习导引】1．利润最大　用料最省　效率最高预习交流　提示：(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)；(2)确定定义域，一

5、定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围；(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值；(4)下结论，回扣题目，给出完整的答案．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：用x表示出包装盒的底边长、高，再运用数学知识求最值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30．(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20．当x∈(0,20)时，

6、V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0．所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝．即包装盒的高与底面边长的比值为．迁移与应用　1．A　解析：设高为xcm，则底面半径为cm，∴圆锥体积V＝π·(400－x2)·x＝(cm3)，V′＝，令V′＝0，得x＝或x＝(舍去)，经判断可得x＝(cm)时，V最大．2．解：设弯成圆的一段长为xcm，另一段长为(100－x)cm，记正方形与圆的面积之和为S，则S＝π2＋2(0＜x＜100)，则S′＝－(100－x)．令S′＝0，则x＝．由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x＝

7、时，面积之和最小．故当截得弯成圆的一段长为cm时，两种图形面积之和最小．活动与探究2　思路分析：(1)把x＝5，y＝11代入关系式中即可求a；(2)计算出每件的利润，求出总利润函数关系式，运用导数求最值．解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2．(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3＜x＜6．从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如