高中数学论文剖析数学高考中的恒成立问题.doc

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1、有关2013广东高考高中数学的恒成立杂谈华农自考招生网：http://www.scauzkw.com广东省佛山市第一中学新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。图31oxy图1

2、1xy01xy0图2例1(08年江西卷理12)．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当时，在上恒成立，而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当时，在上递减且只在上恒成立，而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。当时，在上递增且在上恒成立，而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，与的值至少有一个

3、为正数则只需在上恒成立。(如图3)则有或解得或，综上可得即。故选B。例2（09年江西卷文17）设函数．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值。（节选）解析：(1),对,,即在上恒成立,,得，即的最大值为。2、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.例3（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：恒成立，即，要解决此题关键是求，。解：（1）

4、（2）略（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.的取值范围为.例4（08天津文21）．设函数，其中．（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选）分析：，即，，，要解决此题关键是求。解：（Ⅲ）由条件可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，即，即在上恒成立．即，所以，因此满足条件的的取值范围是．例5（09年全国卷II文21）设函数，其中常数（II）若当时，恒成立，求的取值范围。（节选）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析

5、：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。；则由题意得.5.u.c.o.m即解得。二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例6（07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数均有，.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.解析：(Ⅰ)，，而，恒成立.则由二次函数性质得，解得，，。（Ⅱ）.令，则即.由于，

6、则有.解得.所以的取值范围为。例7(08安徽文科20)．已知函数，其中为实数．（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。三、分离参数法　利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在

7、上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例8（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是.解析:当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.例9（09年山东卷文21）已知函数,其中w.w.w.k.s.5…。（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.分析：此题虽有三个变量、、，而的范围已知，最终要用表示出的取值范围，所以可以将看成一个已知数，对和进行离参。解析：(2)在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。设，，令得或(舍去)，

8、当时,，当时，单调增函数；当时，单调减