探究2016年高考中的恒成立问题

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1、探究2016年高考中的恒成立问题纵览近年来的各个省市的高考数学试卷，可以发现在试题中经常会出现恒成立问题.与恒成立相关的题目一般出现在试卷的最后一题或倒数第二题，可以说是整套试卷的压轴之作.这类试题一般综合性强，通常会结合函数、数列、不等式及导数等多个知识进行考察，同时这类题目对学生的能力也是一种挑战，这类题目通常会考查学生分析能力、推理能力、计算能力以及综合运用知识的能力，在高考中这种题往往会拉开考生的成绩差距.在本文中，笔者结合自己多年的一线教学经验，就2016年高考数学屮出现的几道与恒成立相关的试题展开分析，以供读者参考

2、.一、考查方式对于恒成立问题的考查主要有两种方式：1.证明某个等式或不等式恒成立；2.已知某个等式或不等式恒成立，求解其中的参数的取值或取值范围.二、实战演练例1(2016年山东理科，20)己知f(x)=a(x-lnx)+2x~lx2,aeR.(I)讨论f(x)的单调性；(II)当a=l时，证明f(x)〉f'(x)+32对于任意的xE[1,2]成立.解析(1)(1)由题目中的函数知f(X)的定义域为(0,+->)，f'(x)=a-ax-2x2+2x3=(ax2~2)(x~l)x3.当a<0时，若xE(0，1)，f'(x)>0，

3、，则函数f(x)单调递增；xE(1,+oo),f'(x)0时，f'(x)=a(x—1)(x+2a)(x—2a)x3.若01,所以当xE(0，1)或(2a，+w)时，f'(x)〉0，函数f(x)单调递增；当xE(1，2a)时，f'(x)〈0，函数f(x)单调递减；若a=2时，2a=l,f'(x)彡0,函数f(x)单调递增；若a〉2,则00，函数f(x)单调递增；当xE(2a，1)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上所述：当a<0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增；函数f(x)在(1,+°°)上单调递减；当0当a=2

4、时，函数f(x)在(0,+w)上单调递增；当a>2时，函数f(x)在(0，2a)和(1，+«=>)上单调递增；函数f(x)在(2a,1)上单调递减.(11)由(1)知a=l时，f(x)-f'(x)=x-lnx+2x~lx2-(I~lx-2x2+2x3)=x—lnx+3x+lx2—2x3—1,xE[l,2],:g(x)令g(x)=x~lnx,h(x)=3x+lx2-2x3-l,则f(x)-f'+h(x),由g"(x)=x-lx彡0可得g(x)彡g(1)=1，当且仅当X=1时取等号;乂h’(x)=-3x2-2x+6x4,设4>(x

5、)=-3x2-2x+6,则(x)在［1，2］上单调递减，且巾(1)=1,4)(2)=-10,所以在［1，2］上存在x0使得xe(1，xO)时，4)(x)〉0,xe(xO，2)时，(I)(X)g(1)+h(2)=32,即f(x)〉f'(x)+32对于任意的xe［l,2］恒成立.点拨这道题第一问考察了利用导函数判断单调性，需要用到分类讨论的思想，第二问是恒成立问题，需要考生结合原函数和导数进行推理.例2(2016年全国卷理科，24)已知函数f(x)=

6、2x-a

7、+aI)当a=2时，求不等式f(x)彡6的解集;II)设函数g(x)=

8、

9、2x~l

10、,当xER时，f(x)+g(x)彡3，求a的取值范围.解析(I)当a=2时，f(x)=

11、2x-2

12、+2.解不等式

13、2x-2

14、+2彡6，得-l

15、+a+1l~2x

16、12x-a+H2x

17、+a=11-a

18、+a，当x=12时等号成立，所以当xER时，f(x)+g(x)>3等价于

19、l_a

20、+a>3.当aCl时，

21、Ha

22、+a>3等价于l-a+a>3，无解；当a>l时，

23、卜a

24、+a^3等价于a~l+a^3,解得a^2；所以a的

25、取值范围是［2,.点评(I)利用等价不等式

26、h(x)

27、(a>0)-a^h(x)进而通过解不等式可求得；(II)根据条件可首先将问题转化为求解f(X)+g(X)的最小值，此最值可利用绝对值三角不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于a的不等式求解即可.例3(2016年江苏数学I，19)已知函数f(x)二ax+bx(a>0,b>0,a7^1,bT^l).(1)设a=2,b=12.①求方程f(x)=2的根；②若对于任意xER，不等式f(2x)彡mf(x)-6恒成立，求实数m的最大值；(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只

28、有1个零点，求ab的值.解析(1)①f(x)=2x+(12)x,由f(x)=2可得2x+12x=2，则(2x)2-2X2x+l=0，即(2x-l)2=0,则2x=l，x=0；②由题意得22x+122x彡m(2x+12x)-6恒成立，令t=2x+12x,则由2x>0可得t彡22