高中数学竞赛训练题—解答题.doc

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1、高中数学竞赛训练题—解答题1．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.2．已知不等式对一切正整数均成立，求正整数的最大值，并证明你的结论。3．设为的单调递增数列，且满足，求{}的通项公式。4．（1）设求证：（2）设求证：5.设数列，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.6.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。7．已知数列满足（），前项和为，且，记（），当时，问是否存在正整数，使得对于任意正整

2、数，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．8.在中，已，又的面积等于6.（Ⅰ）求的三边之长；（Ⅱ）设P是（含边界）内一点，P到三边AB、BC、AB的距离为、和，求的取值范围.9．在数列中，，是给定的非零整数，．（1）若，，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．10.已知椭圆，以（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为，求的值。11.如图，椭圆：，、、、为椭圆的顶点．（Ⅰ）设点，若当且仅当椭圆上的点在椭圆的顶点时，取得最大值与最小值，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，且与直线相

3、交于，两点（不是椭圆的左右顶点），并满足．试研究：直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．12．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，且垂直于底面．（1）求四棱锥的体积；（2）在边上是否存在一点，使得？请说明理由．13．（本小题满分15分）关于的方程：．（1）若方程表示圆，求实数的取值范围；（2）在方程表示圆时，若该圆与直线：相交于两点，且，求实数的值；（3）在（2）的条件下，若定点的坐标为（1，0），点是线段上的动点，求直线的斜率的取值范围．14．已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6,0

4、)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。BACEA1B1C115.如图，正三棱柱中，是中点.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）若，求点到平面的距离；（Ⅲ）当为何值时，二面角E—BC1—C的正弦值为？16．（本小题满分15分）PnPn+1在平面上有一系列点…，．对每个正整数,点位于函数的图象上．以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙与⊙彼此外切．若,且（）．（1）求证：数列是等差数列；（2）设⊙的面积为，,求证：对任意，均有．17．（本小题满分18分）二次函数中，实数满足=0,其中．求证：(1)；(2)方程在(0，1)内恒有解

5、．ABC18．如图，斜三棱柱的所有棱长均为，侧面底面，且.（1）求异面直线与间的距离；（2）求侧面与底面所成二面角的度数．19．设向量为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量，，且．（1）求满足上述条件的点的轨迹方程；（2）设，问是否存在常数，使得恒成立？证明你的结论．20．已知抛物线和。过任作直线，交抛物线于B、C两点。⑴求△ＡＢＣ重心的轨迹方程，并表示成形式；⑵数列中，，且满足。试证：21．椭圆C：=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1(–c,0)，M是椭圆上一点，且满足=0。（Ⅰ）求离心率e的取值范围；（Ⅱ）设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相于不同的两点A、B，Q

6、为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P、Q的直线对称？若能，求出k的范围，若不能，请说明理由。22．已知定义在R上的函数f(x)同时满足：（1）（R，a为常数）；（2）；（3）当时，≤2．求：（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1357911—————————设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数。（I）若，求的值；（II）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为，求数列的前n项和。24.若、、，且满足，求的最大值。25．设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①

7、对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：（1）（）；（2）时，．26．求解不等式。27．设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明：(1)若，且，则；(2)若则。28.已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．高中数学竞赛训练题答案—解答题部分1．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.1.解：由得,所以,由此得到.又因为,故.………………………4分又因为,令则.……………6分当时，