黄冈中学竞赛训练题 高中数学.doc

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1、黄冈中学竞赛训练题高中数学（77）立体几何1、已知正三棱锥S－ABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面SBC作垂线，垂足为O′，在AO′上取一点P，使AP︰PO′=8，求经过P点且平行底面的截面的面积．[分析及答案]分析：本题的关键在于求出过P平行于底的截面到顶点的距离与底面到顶点的距离之比．解答：如图10．13，因S－ABC是正三棱锥，所以O是正三角形ABC的中心．连结AO延工交BC于D，则D是BC的中点，故BC⊥AD，BC⊥SD，因而BC⊥平面SAD，从而平面ASD⊥平面SBC．又AO′⊥平面SBC，故SO′在平面SAD内，因而O′在SD上，于是由设过

2、P作平行于底的平面与SD的交点为O1，则于是故所求截面面积2、设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比．[分析及答案]分析：设过AM且平行BC的平面交平面PBC于EF（E∈PB，F∈PC），要求两部分体积之比，只要求VP—ABC=S△PEF︰S△PBC．解答：如图10．14，过设AM且平行BC的平面与棱PB、PC分别交于E、F．则EF//BC．连结AO并延长交BC于D，则D为BC的中点，连结PD交EF于G，则因A到平面PEF的距离即为A到平面ABC的距离，所以在△PAD中，过O作PD的

3、平行线，交AG于N．因为M为PO的中点，故

4、ON

5、=

6、PG

7、，，故，因而，故所求上下两部分体积之比为3、四面体ABCD被平面α所截，对棱AB，CD都与α平行且与α等距，设α截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积．[分析及答案]分析：利用“等底、等高的两个四面体的体积相等”将四面体添加几个等体积的四面体，构成一个平行六面体来计算．解答：过四面体ABCD的各棱分别作与其对棱平行的平面，六个平面相交得一平行六面体AC1BD1－A1CB1D（如图10．15）．此时VABCD等于平行六面体的体积V减去四个彼此等积的三棱锥的体积，这四个三

8、棱锥分别是A－A1CD，B－B1DC，C－C1AB，D－D1AB．因为这四个三棱锥的底面积为平行六面体底面积的，其高与平行六面体的高相等，故每一个三棱锥的体积等于于是由于AB，CD与截面α等距，如图10．15可知K，L，M，N分别是AA1，CC1，BB1，DD1的中点，易知，而h就是平面AC1BD1与平面A1CB1D的距离，所以说明：利用“等积”进行割补，是解决多面体体积问题的一个有效方法．4、设S－ABCD是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，K是棱SC的中点，过AK作平面与线段SB、SD分别交于M、N（M，N可以是线段的端点）．试求四棱锥S－AMKN的体积V的最

9、大值与最小值．[分析及答案]分析：显然S－AMKN的体积V可由SM，SN的长度确定，令，设法建立V与x，y的函数关系，以及x与y的关系，消去x（或y），使V成为y（或x）的一元函数，再求V的最大值和最小值．解答：为了建立V与原四棱锥S－ABCD的关系．我们需要下列结论：引理：设A1，B1，C1分别在三棱锥S－ABC的侧棱SA，SB，SC上，又S－A1B1C1与S－ABC的体积分别是V1和V，则事实上，如图10．17，设C，C1在平面SAB上的射影分别是H，H1．则又，所以下面回到原题，如图10．16．设的体积为于是，由引理可得于是，而由当即时，等号成立，故V的最小值

10、为其次，令时，所以f(u)在单调递减而在[1，2]上单调递增，且因此f(u)在上的最大值为从而当即取最大值为综上得四棱锥S－AMKN的体积V的最大值为，最小值为．说明：本题也可由关于x的方程在区间上有实根的条件，经过讨论得出且两端等号均能达到，从而得出上述同样的结论．5、直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=α，AD是BC边上的高，若此直棱柱的侧面积为S，过BC1且与AD平行的平面与底面成角β，求这平面截棱柱所得截面面积以及棱柱被截面分成的两部分的体积．[分析及答案]分析：利用线面平行关系确定截面的位置后，再计算．解答：如图10．18

11、，因截面与AD平行，故截面与底面的交线为过B与DA平行的直线，设这条直线交CA的延长线于E，连C1E交A1A于F，连BF．则△C1FB即为平行于AD的平面截棱柱所得的截面．因为CC1⊥平面ABC，又AD⊥BC，AD//EB，故BC⊥EB，由三垂线定理得BE⊥BC1，而∠C1BC是二面角C1－BE－C的平面角，故∠C1BC=β．设BC=a，则，于是又CC1⊥平面ABC，故CC1⊥BC．在Rt△C1CB中，CC1=BCtanβ=atanβ．从而有故截面BC1F的面积为设棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，它被截面分成上、下两部分的体积分别为V1和V1，于是又F到平面