高三 专题复习 不等式恒成立问题.doc

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1、高三数学第一讲不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的

2、量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1　已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R上定义运算：xy＝x(1－y)若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则()(A)－10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x)（afmax(x)（a

3、　．例5：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0(nN*)若对任意n≥1，nN*，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范围。例6．（2012•安徽模拟）若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1]恒成立，则a的取值范围是　　．例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是　　．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式

4、x﹣a

5、＞x﹣1对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是　　．三、数型结合法例9：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k

6、的取值范围是例10：已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围1例11、　已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是       .例12、（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是　　．例13、若不等式logax＞sin2x（a＞0，a≠1）对任意都成立，则a的取值范围是（　　）　A．B．C．D．（0，1）四、利用函数的最值（或值域）求解（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例1

7、4、在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。例15、（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。例16、（2009•崇明县二模）已知函数，（x＞0），其中a，b∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性（不必证明）；（2）当时，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．五、利用函数单调性求解例17、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式恒成立，则实数t的取值范围是　　．例18、已知函数f（x）=x3+2x，x∈R，若不等式f（mcosθ）+f（m﹣sinθ

8、）≥0，当时恒成立，则实数m的取值范围是　　．例19、已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，求实数m的取值范围．六、实战演练一．填空题1．（2012•北京怀柔区二模）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜logax恒成立，则实数a的取值范围是　　．2.．已知：不等式x2﹣logmx＜0．在上恒成立，则实数m的取值范围是　　．3．不等式4x+a•2x+1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是　　．4．（2006•上海）三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+

9、x

10、3﹣5x2

11、≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是　　．5．f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围是　　．二．解答题6．（2012•信阳模拟）已知对于任意非零实数m，不等式

12、2m﹣

13、1

14、+

15、1﹣m

16、≥

17、m

18、（

19、x﹣1

20、﹣

21、2x+3

22、）恒成立，求实数x的取值范围．7．（2013•静安区一模）已知a，b，c分别为△ABC