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1、第14讲正、余弦函数图象与性质（教师版）一．学习目标：1.了解正弦函数、余弦函数的图象.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．2.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.会求f(x)＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sinx，y＝cosx的周期性及奇偶性．4..掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.5.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能用单调性比较大小.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ
2、)的单调区间．二．重点难点：重点：三角函数的图象与性质．难点：①三角函数的单调区间．②五点法画图．③三角函数性质的应用．三．知识梳理：1．正弦曲线、余弦曲线图象：2．“五点法”画图画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________；画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx＝sin，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx
3、的图象向________平移个单位长度即可．4．函数的周期性：(1)对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________．（3）函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小
4、正周期为.(2)三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．5.正弦函数、余弦函数的性质：函数y＝sinxy＝cosx图象定义域RR值域_[－1,1][－1,1]奇偶性奇函数 偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减。在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减。最值在
5、x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1。在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1。对称性对称中心(kπ，0)k∈Z对称轴x＝kπ＋，k∈Z对称中心(kπ＋，0)，k∈Z对称轴x＝kπ，k∈Z四．典例剖析：题型一利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1 利用“五点法”画函数y＝－sinx＋1(0≤x≤2π)的简图．解 利用“五点法”作图,取值列表：x0π2πsinx010－101－sinx10121描点连线，如图
6、所示课堂练习1： 利用“五点法”画函数y＝－1－cosx，x∈[0,2π]的简图．解 取值列表得：x0π2πcosx10－101－1－cosx－2－10－1－2描点连线，如图所示．课堂小结： 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．题型二三角函数图象的应用例2（1）（2011年高考陕西文）方程
7、x
8、＝cosx在(－∞，＋∞)内( )A．没有根 B．有且仅有一个
9、根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根答案为C 在同一坐标系内画出两个函数y＝
10、x
11、和y＝cosx的图象,这两个函数的图象有且只有两个交点，所以方程
12、x
13、＝cosx有且仅有两个根．（2）（2011年高考全国新课标理）函数的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8答案为：D.由题意知的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称．又y＝2sinπx的周期为，也关于点(1，0)成中心对称，因此两图像的交点也一定关于
14、点(1，0)成中心对称，如图所示，可知两个图像在[－2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标和x1＋x2＋…＋x8＝4×2＝8.课堂练习2：(1)（2008年高考浙江理）在同一平面直角坐标系中，函的图象和直线的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4答案为：C 解析：∵x∈［0,2π］,∴∈［,］,结合y=cosx图象可知cost=在［,］有两根.∴图象交点个数为2.(2)方程的零点个数（A）1 （B）2 （C）3 （D）4答：C（3）
