课时作业(十五).doc

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1、课时作业(十五)1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步即证下述哪个不等式成立(　　)A．1<2　　　　　　　　B．1＋<2C．1＋＋<2D．1＋<2答案　C解析　∵n∈N*且n>1，∴n0＝2.n0＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，即1＋＋<2.2．若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N*恒成立，则自然数m的最小值为(　　)A．8B．9C．10D．12答案　A解析　令bn＝＋＋＋…＋，∴bk＋1－bk＝＋＋…＋＋＋－(＋＋…＋)＝＋－<0.∴bk＋1

2、恒成立，只需b1<.∴＋<，得m>＝7.∴m的最小值为8.3．关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是(　　)A．n∈N*B．n≥4C．n>4D．n＝1或n>4答案　D解析　n取1，2，3，4验证．4．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)成立，当n＝1时，应验证(　　)A.≤1＋≤B.≤1＋＋≤C.≤1＋＋

3、．4答案　B6．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是(　　)A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2)C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2)D．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)答案　A7．证明<1＋＋＋…＋1)，当n＝2时，要证明的式子为________．答案　2<1＋＋＋<3解析　当n＝2时，要证明的式子为2<1＋＋＋<3.8．用数学归纳法证明：当n∈N*，1＋2＋

4、22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为______________，从k到k＋1时需增添的项是______________．答案　1＋2＋22＋23＋24，25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋49．利用数学归纳法证明“(1＋)(1＋)…(1＋)>”时，n的最小取值n0为________．答案　210．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．答案　an＝解析　a2＝S2－S1＝2(2×2－1)a2－，∴a2＝

5、，同理a3＝，a4＝.归纳可知an＝.11．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．证明　当n＝1，n＝2，n＝3时都有2n＋2>n2成立，所以归纳猜想2n＋2>n2成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1，时2

6、k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因为2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)(2)可知，2n＋2>n2对于任何n∈N*都成立．12．设f(n)＝1＋＋＋…＋，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，….(1)你能得到怎样的结论？并证明．(2)是否存在一个正数T，使对任意的正整数n，恒有f(n)

7、项公式为an＝，∴猜测：f(2n－1)>.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即f(2k－1)>.则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋＋…＋2k个＝f(2k－1)＋>＋＝.∴当n＝k＋1时不等式也成立．由①②可知对任何n∈N*，f(2n－1)>均成立．(2)对任意给定的正数T，设它的整数部分为T′，记m＝T′＋1，则m>T.由(1)可知，f(22m－1)>m，∴f(22m－1)>T.这说明，对任

8、意给定的正数T，总能找到正整数n(如可取假设中的2m)，使得f(n)>T.∴不存在正数T，使得对任意正整数n，总有f(n)