返璞归真话无理函数.doc

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1、返璞归真“话”无理函数甘肃省徽县一中　　　　　张代玉无理函数是指函数解析式是关于x的无理式的函数，如，这样的函数不属于基本函数，它的图像不那么好做，又不能用基本函数的图像来进行变换，描点法又太麻烦，有关这类函数的问题如单调性问题、值域问题、等等就更不好解决了。那么怎样来快速准确地做出它的图像，从而借助数形结合思想解决这类函数的相关问题呢？本文将介绍一种简单的方法--------回归圆锥曲线作图法。首先从函数解析式出发，求出函数的定义域和值域(即x,y的范围)，然后把解析式两边平方，再进行配方、移项等变形，整理为圆

2、锥曲线方程，再画出相应的圆锥曲线，然后再根据前面求出的定义域和值域，保留范围内的图像，擦掉范围以外的图像就可以画出函数的图像，进而利用图像解决其它问题。图1xy0－222例1、作出函数的图像，并指出单调区间解：由　　∴0≤y≤2两边平方得　在直角坐标系中作出圆，擦掉的下半圆即得函数的图像，如图1从图像可以看出函数在［－2,0］上增，在（0,2］上减。【评析】两边平方后原函数式中的x，y的取值会发生变化，为了画出准确的函数图象，必须先考虑原函数的定义域和值域。例2、作出函数的图像xy0-5-1-3图21解：由得－5

3、≤x≤－1由解析式可以知1≥y≥0将解析式变形为作出椭圆，再擦掉x轴下方的图像即可，如图2【评析】一般通过平方变来的圆锥曲线都是非标准位置的曲线，需要结合坐标平移的知识来画图象。曲线的图象可以看作是由曲线的图象向右平移｜k｜个单位，再向上平移｜h｜个单位而得到。其中k，h∈R。也就是曲线形状大小不变，把中心移到（k,h）。例1、设函数与，若恒有成立，试求实数a的取值范围解：将整理为，由得，因此原函数表示半圆表示直线4x－3y+3=0∵∴由数形结合可知半圆位于直线下方（包括相切），如图3xy0图3∴圆心（－2，a）

4、到直线4x－3y＋3＝0的距离d≥2，即：解得：　　　　　∴a≤－5【评析】根号外面有常数项时，要把常数移到左边后再平方，变化的方向要尽量向圆锥曲线的形式靠近。例2、已知函数和，若方程有两个不相等的实根，求实数a的取值范围xy0图4解：函数的定义域是R，值域是　　解析式可变形为：　　　　∴当时，　　　当，　　∴可作出图像，如图4　　表示平行于直线y=x的直线，在y轴上的截距为－a而方程有两个不等的实根，也就是函数的图像有两个不同的交点∴由图像可知，－1＜－a＜0或－a＝1或－a＝∴0＜a≤1或a＝－1或a＝－【评

5、析】如果解析式中还带有绝对值，就要针对绝对值进行讨论，先将函数变为分段函数，再向圆锥曲线化归。例1、求函数的最小值解：将解析式变形为：B43y=xx0yAA¢图5PP¢利用数形结合法，函数式可以理解为动点P（x,x）与点A（3，0）及B（4，1）的距离之和，从而问题转化为在直线y=x上找一点到A，B两点的距离之和最小，如图5作A关于y=x的对称点A¢，连接BP交直线y=x于点P，根据对称点的性质得BA¢＝PA＋PB，P点就是要求的点。∴【评析】这个题虽是另类，但也体现了一类无理函数问题，不能用两边平方的常规方法进

6、行变形，化归到圆锥曲线，再结合图形来解决问题，但是从根式本身的几何意义，和其它问题一样利用了数形结合思想。总之，无理函数问题在平时教学中是学生感到比较困惑的问题，在解题时要仔细观察，分析式子特点，巧妙利用数形结合法，联系其中有关量的几何意义来解决。需要作函数图像时，通过平方变形，回归到圆锥曲线，再根据函数的定义域、值域作出图像，使问题形象化，直观化从而得到解决。这类问题蕴含着数形结合的数学思想，在解题中要充分函数式与相应的圆锥曲线图形之间的联系，练习题：1．求函数的单调增区间2．关于x的方程有唯一的实数解，则实数

7、k为（　　）A．　B．k<－2或k>2C．－2

8、y0－5523．解：∵∴，表示下半圆，如图（练习3）所示，∴当直线y=x+b经过点（－5,0）时，b＝5　当直线y=x+b与半圆相切时有，解得：　　　　　　　　　由此可知：，故选C