专题一 第二讲 (2

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1、第二讲　数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对

2、数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．1． (2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别

3、是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则

4、PM

5、＋

6、PN

7、的最小值为(　　)A．5－4B.－1C．6－2D.答案　A解析　设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么

8、PC1

9、＋

10、PC2

11、＝

12、PC1′

13、＋

14、PC2

15、≥

16、C1′C2

17、＝＝5.而

18、PM

19、＝

20、PC1

21、－1，

22、PN

23、＝

24、PC2

25、－3，∴

26、PM

27、＋

28、PN

29、＝

30、PC1

31、＋

32、PC2

33、－4≥5－4.2．(2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则

34、c

35、的最大值是(　　)A．1B．2C.D.答案　C解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则

36、＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，

37、c

38、最大，此时，

39、

40、＝.3．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)A．2B．1C．－D．－答案　C解析　如图，由得A(3，－1)．此时直线OM的斜率最小，且为－.4．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝若

41、f(x)

42、≥ax，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]答案　D解析　函数y＝

43、f(x)

44、的图象如图．①当a＝0时，

45、f(x)

46、≥ax显然成立．②当a>0时，只需在

47、x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.5．(2012·天津)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．答案　(0,1)∪(1,4)解析　根据绝对值的意义，y＝＝在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0

48、建)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．审题破题　本题以新定义为背景，要先写出f(x)的解析式，然后将方程f(x)＝m根的个数转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝m的交点个数．答案　解析　由定义可知，f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知，当00，且x2＋x3＝2×＝1，∴x2x3<.令解得

49、x＝.∴