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1、高2011级数学定时训练之等比数列1.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于（）A.2B.4C.D.答案C2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为（）A.1B.-C.1或-D.-1或答案C3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么（）A.b=3，ac=9B.b=-3，ac=9C.b=3，ac=-9`D.b=-3，ac=-9答案B4.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8等于（）A.16B.6C.12D.4答案D例1已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=
2、，求{an}的通项公式.解方法一设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a==，a4=a3q=2q，∴+2q=.解得q1=，q2=3.①当q=时，a1=18，∴an=18×()n-1==2×33-n.②当q=3时，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.∴an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，解得或.①当a2=时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②当a2=6时，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.例2（12分）已知数列{
3、an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2)，求{cn}的通项公式.（1）证明由a1+S1=1及a1=S1得a1=.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项，为公比的等比数列.6分（2）解方法一由（1）知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1(n≥2),∴2an+1-2an=an-
4、an-1,∴2cn+1=cn(n≥2).8分又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=.∴c2=-=,即c2=c1.∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列.10分∴cn=·()n-1=()n.12分方法二由（1）bn=(-)·()n-1=-()n.∴an=-()n+1.∴cn=-()+1-=-==（n≥2）.10分又c1=a1=也适合上式，∴cn=.12分例3在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且++++=2,求a3.解方法一设公比为q,显然q≠1,∵{an}是等比数列，∴也是等比数列，公比为.由已知条件得,解得aq=4,∴a=（a
5、1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得：++===2.∴a=4.∴a3=±2.例4某林场有荒山3250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？（精确到0.1）解（1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a1n+(n-1)d=100n+×50=3250.解此方
6、程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9，……，第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列{bn}，则其和为T=b1+b2+…+b10=200×1.110+300×1.19+…+1100×1.1≈1.0（万立方米）.答需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.1.已知等比数列{an}中，a3=,S3=4,求a1.解当q=1时，a1=a2=a3=,满足S3=4,当q≠1时，依题意有,解得
7、q2=,a1=6.综上可得：a1=或a1=6.2.设数列{an}是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列{an}中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,…,nt,…（t∈N*）满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…使得a3,a5,,,…,,…是等比数列，求数列{nt}的通项公式.解（1）设{an}的公差为d,则由a5=a3+2d,得d==,由ama3=,即3=62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比数列.（2）∵a3=2，a5=6，∴d==2，∴当n≥5时，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5
8、,,,…,,…成等比数列，则q===3,=a5·3t,t=1,2,
