高三数学一轮 13.3 直接证明与间接证明1导学案 理 北师大版

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1、§13.3　直接证明与间接证明2014高考会这样考　1.考查对直接证明和间接证明原理的理解和用法；2.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列知识为载体，考查分析法、综合法、反证法．复习备考要这样做　1.抓住三种证明方法的特点，把握它们解题的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型；2.加强训练，总结、体会解题中的一些技巧，灵活应用三种方法证明一些实际问题．1．直接证明(1)综合法①定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．②框图表示：→→

2、→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．②框图表示：→→→…→.2．间接证明我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．[难点正本　疑点清源]1．综合法证明问题是由因导果，分析法证明问题是

3、执果索因．2．分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．1．要证明“＋<2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)①反证法，②分析法，③综合法．答案　②2．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．答案　3解析　要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．3．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－

4、a)＝______(用b表示)．答案　－b解析　∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－b.4．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个答案　D解析　由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤正确．5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°

5、答案　B解析　因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”，故选B.题型一　综合法的应用例1　已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．思维启迪：利用a2＋b2≥2ab，＋≥，再利用ab＋≥2，根据这个解题思路去解答本题即可．证明　因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②故

6、a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．探究提高　综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．　已知a、b、c为正实数，a＋b＋c＝1.求证：(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤6.证明　(1)方法一　a2＋b2＋c2－＝(3a2＋3b2＋3c2－1)＝[3a2＋3b2＋3c2－(a＋

7、b＋c)2]＝(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，∴a2＋b2＋c2≥.方法二　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥.方法三　设a＝＋α，b＝＋β，c＝＋γ.∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0.∴a2＋b2＋c2＝2＋2＋2＝＋(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝＋α2＋β2＋γ2≥，∴a2＋b2＋c2≥.(2)∵＝≤＝，同理≤

8、，≤，∴＋＋≤＝6，∴原不等式成立．题型二　分析法的应用例2　已知m>0，a，b