2018版高中数学 第二章 平面向量 2.4 第1课时 向量的数量积学案 苏教版必修4

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1、第1课时向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一平面向量的数量积一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？梳理平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做向量a与b的______(或______)，记作a·b，即a·b＝

6、

7、a

8、

9、b

10、cosθ.(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为________．特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．知识点二两个向量的夹角思考把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？梳理两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．→→作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ，称为向量a与b的夹角．(2)范围：________________.(3)当θ＝________时，a与b同向；当θ＝__

11、______时，a与b反向．(4)当θ＝________时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？思考2向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？梳理(1)条件：向量a与b的夹角为θ.(2)投影：向量b在a方向上的投影

12、b

13、cosθ向量a在b方向上的投影

14、a

15、cosθ(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度

16、a

17、与________________________________的乘积．知识点四平面

18、向量数量积的性质及运算律思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理(1)数量积性质①当a与b同向时，a·b＝

19、a

20、

21、b

22、；②当a与b反向时，a·b＝－

23、a

24、

25、b

26、；③当a⊥b时，a·b＝0；2④a·a＝

27、a

28、或

29、a

30、＝a·a.(2)数量积的运算律①a·b＝b·a；②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.类型一求两向量的数量积例1已知

31、a

32、＝4，

33、b

34、＝5，当(1)a∥b

35、；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求

36、a

37、和

38、b

39、；(3)求数量积，即a·b＝

40、a

41、

42、b

43、cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．→→跟踪训练1已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝________.类型二求向量的模π例2已知

44、a

45、＝

46、b

47、＝5，向量a与b的夹角为，求

48、a＋b

49、，

50、a－b

51、.3引申探究若本例中条件不

52、变，求

53、2a＋b

54、，

55、a－2b

56、.222反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a＝

57、a

58、，即

59、a

60、＝a，勿忘记开方．跟踪训练2已知

61、a

62、＝

63、b

64、＝5，且

65、3a－2b

66、＝5，求

67、3a＋b

68、的值．类型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3已知

69、a

70、＝2

71、b

72、＝2，且a·b＝－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)

73、当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？1．已知

74、a

75、＝8，

76、b

77、＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为________．2．设向量a，b满足

78、a＋b

79、＝10，

80、a－b

81、＝6，则a·b＝________.23．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，

82、a

83、＝1，

84、b

85、＝2，

86、c

87、＝3，则(a＋2b－c)＝_____.→→→→→4．在△ABC中，

88、AB

89、＝13，

90、BC

91、＝5，

92、CA

93、＝12，则AB·BC的值是________．5．已知正三角形ABC的边长为1，求：→→→→(1)AB·AC

94、；(2)AB·BC；→→(3)BC·AC.1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3