2018高考数学大一轮复习 板块命题点专练(十三)文

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1、板块命题点专练(十三)命题点一 椭圆命题指数:☆☆☆☆☆难度:高、中题型:选择题、填空题、解答题1.(2015·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(  )A.2          B.3C.4D.9解析:选B 由左焦点为F1(-4,0)知c=4.又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3.又m>0,故m=3.2.(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线

2、段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(  )A.B.C.D.解析:选A 如图所示,由题意得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).设E(0,m),由PF∥OE,得=,则

3、MF

4、=.①又由OE∥MF,得=,则

5、MF

6、=.②由①②得a-c=(a+c),即a=3c,∴e==.故选A.3.(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.解析:选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0,

7、b)和一个焦点F(c,0),则直线l的方程为+=1,即bx+cy-bc=0.由题意知=×2b,解得=,即e=.故选B.4.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________.解析:设椭圆的另一个焦点为F1(-c,0),如图,连接QF1,QF,设QF与直线y=x交于点M.由题意知M为线段QF的中点,且OM⊥FQ.又O为线段F1F的中点,∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,

8、F1Q

9、=2

10、OM

11、.在Rt△MOF中,tan∠MOF=

12、=,

13、OF

14、=c,可解得

15、OM

16、=,

17、MF

18、=,故

19、QF

20、=2

21、MF

22、=,

23、QF1

24、=2

25、OM

26、=.由椭圆的定义得

27、QF

28、+

29、QF1

30、=+=2a,整理得b=c,∴a==c,故e==.答案:5.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解:(1)由题意得=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.(2)

31、证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM==,yM=k·xM+b=.于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.命题点二 双曲线命题指数:☆☆☆☆难度:中题型:选择题、填空题1.(2016·全国乙卷)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )A.(-1,3)B.(-1,)C.

32、(0,3)D.(0,)解析:选A 由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m20,b>0),则

33、BM

34、=

35、AB

36、=2a,∠MBx=180°-120°=60°,∴点M的坐标为.∵

37、点M在双曲线上,∴-=1,解得a=b,∴c=a,e==.故选D.3.(2016·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(  )A.B.C.D.2解析:选A 法一:作出示意图,如图,离心率e===,由正弦定理得e====.故选A.法二:因为MF1与x轴垂直,所以

38、MF1

39、=.又sin∠MF2F1=,所以=,即

40、MF2

41、=3

42、MF1

43、.由双曲线的定义得2a=

44、MF2

45、-

46、MF1

47、=2

48、MF1

49、=,所以b2=a2,所以c2=b

50、2+a2=2a2,所以离心率e==.4.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________.解析:法一:∵双曲线的渐近线方程为y=±x,∴可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,),∴λ=16-4×()2=4,∴双曲线的标准方程为-y2=1.法二:∵渐近线y=x过点(4,2),而<2,∴点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).∴双曲线的焦点在

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