2018版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及其线性运算 理

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1、第1讲平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.已知两个非零向量a,b满足

2、a+b

3、=

4、ab

5、,则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.{0,1,3}D.a+b=ab答案B2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(  ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若a+b=0,则a=-b.∴a∥b;若a∥b,则a=λb,a+b=0不一定成立.答案 A3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,那么(  ).A.=B.=2C.=3D.2=解析 由2++

6、=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故=.答案 A4.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下列说法正确的是(  ).A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C、D可能同时在线段AB上D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析 若A成立,则λ=,而=0,不可能;同理B也不可能;若C成立,则0<λ<1,且0<μ<1,+>2,与已知矛盾;若C,D同时在线段AB的延长线上

7、时,λ>1,且μ>1,+<2,与已知矛盾,故C,D不可能同时在线段AB的延长线上,故D正确.答案 D5.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为三角形ABC的(  ).A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点解析 设AB的中点为M,则+=,∴=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,∴P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.答案 B6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(  ).A

8、.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对解析 由已知=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.∴∥,又与不平行,∴四边形ABCD是梯形.答案 C二、填空题7.设a,b是两个不共线向量,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为________.解析 ∵=+=2a-b,又A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使=λ.即∴p=-1.答案 -18.如图,在矩形ABCD中,

9、

10、=1,

11、

12、=2,设=a,=b,=c,则

13、a+b+c

14、=________.解析 根据向量的三角形法则有

15、a+b+c

16、=

17、++

18、=

19、

20、++

21、=

22、+

23、=2

24、

25、=4.答案 49.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足

26、-

27、=

28、+-2

29、,则△ABC的形状为________.解析 +-2=-+-=+,-==-,∴

30、+

31、=

32、-

33、.故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.答案 直角三角形10.若M为△ABC内一点,且满足=+,则△ABM与△ABC的面积之比为________.解析由题知B、M、C三点共线,设=λ,则:-=λ(-),∴=(1-λ)+λ,∴λ=,∴=.答案三、解答题11.如图所示,△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,AM是BC边上的中线,交

34、DE于N.设=a,=b,用a,b分别表示向量,,,,,.解 =b,=b-a,=(b-a),=(b-a),=(a+b),=(a+b).12.(1)设两个非零向量e1,e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求证:A,B,D三点共线.(2)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求k的值.(1)证明 因为=6e1+23e2,=4e1-8e2,所以=+=10e1+15e2.又因为=2e1+3e2,得=5,即∥,又因为,有公共点B,所

35、以A,B,D三点共线.(2)解 D=-=e1+3e2-2e1+e2=4e2-e1,=2e1+ke2,若A,B,D共线,则∥D,设D=λ,所以⇒k=-8.13.如图所示,在△ABC中,在AC上取一点N,使得AN=AC,在AB上取一点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使得=λ时,=,试确定λ的值.解 ∵=-=(-)=(+)=,=-=+λ,又∵=,∴+λ=,即λ=,∴λ=.14.已知O,A,B三点不共线,且=m+n,(m,n∈R).(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2

36、)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.证明 (1)m,n∈R,且m+n=1,∴=m+n=m+(1-m),即-=m(-).∴=m,而≠0,且m∈R.故与共线,又,有公共点B.∴A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则与共线,故存在实数λ,使=λ,∴-=λ(-).即=λ+(1-λ

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