2018版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数i 2.2 函数的单调性与最值 理

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1、第二章函数与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有

2、(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，

3、0)和(0，]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)

4、都有最值．(　×　)(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　×　)(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　√　)1．(2016·北京)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　)A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x答案　D解析　y＝与y＝ln(x＋1)在区间(－1,1)上为增函数；y＝cosx在区间(－1,1)上不是单调函数；y＝2－x＝x在(－1,1)上单调递减．2．若函数f(x)＝

5、2x＋a

6、的单调递增区间是[3，＋

7、∞)，则a的值为(　　)A．－2B．2C．－6D．6答案　C解析　由图象易知函数f(x)＝

8、2x＋a

9、的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，得a＝－6.3．(2016·广州模拟)函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间为________．答案　(0，＋∞)解析　函数的对称轴为x＝－1，又x>0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．4．(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________________________________________

10、________________________________．答案　(－∞，1]解析　函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数f(x)的单调递增区间是[a，＋∞)，由[1,2]⊆[a，＋∞)，可得a≤1.5．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．答案　2　解析　可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.题型一　确定函数的

11、单调性(区间)命题点1　给出具体解析式的函数的单调性例1　(1)函数的单调递增区间是(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)(2)y＝－x2＋2

12、x

13、＋3的单调递增区间为________．答案　(1)D　(2)(－∞，－1]，[0,1]解析　(1)因为t>0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(2)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x

14、＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2

15、x

16、＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数.命题点2　解析式含参数的函数的单调性例2　已知函数f(x)＝(a>0)，用定义法判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性．解　设－1