2017-2018学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式阶段质量检测b卷（含解析）新人教a版选修4-5

《2017-2018学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式阶段质量检测b卷（含解析）新人教a版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三讲柯西不等式与排序不等式（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M＝a2＋b2＋c2＋d2，N＝ab＋bc＋cd＋da，则M与N的大小关系是(　　)A．M≥N　　　　　　　　B．M＞NC．M≤ND．M＜N解析：选A　取两组数a，b，c，d；b，c，d，a，则由柯西不等式有(a2＋b2＋c2＋d2)(b2＋c2＋d2＋a2)≥(ab＋bc＋cd＋da)2，即(a2＋b2＋c2＋d2)2≥(ab＋bc＋cd＋da)2

2、，∵a2＋b2＋c2＋d2≥0，∴a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.∴M≥N.2．若a，b，c均为正数且a＋b＋c＝6，则＋＋的最小值为(　　)A．3B．5C．6D．12解析：选C　不妨设a

3、是(　　)A．1B．2C.D.解析：选C　设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足a1＜a2＜a3.∴a1≥1，a2≥2，a3≥3，又∵1＞＞，∴x1＋＋≥1＋＋＝.5．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4.则3x＋4y的最大值为(　　)A．1B．10C．11D．21解析：选D　∵(32＋42)≥2，即(3x＋4y－11)2≤100.∴3x＋4y－11≤10,3x＋4y≤21.当且仅当＝＝时取等号．6．已知α，β为锐角，且＋＝1，则α＋β等于(　　)A.B.C.D.解析：选A　∵(sin2β＋cos2β)

4、≥sin2α＋cos2α＝1，当且仅当sinα＝cosβ，cosα＝sinβ时等号成立，即α＝β＝，∴α＋β＝.7．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)A.B.C.D．6解析：选C　由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)·(x2＋y2＋z2)·≥(1×x＋3×y＋5×z)2×＝62×＝.8．已知3x2＋2y2≤2，则3x＋2y的取值范围是(　　)A．B．C．D．解析：选C　

5、3x＋2y

6、≤·≤，∴－≤3x＋2y≤.9．(湖南高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋

7、c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)A.B.C.D.解析：选C　由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.10．已知a，b，c∈R＋，设P＝2(a3＋b3＋c3)，Q＝a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)，则(　　)A．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q解析：选C　取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和；a2b＋b2c＋c2a及a2

8、c＋b2a＋c2b都是乱序和，故有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b，∴2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．∴P≥Q.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为________．解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1.答案：112．若x＋y＋z＋t＝4，则

9、x2＋y2＋z2＋t2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x2＋y2＋z2＋t2)(12＋12＋12＋12)≥(x＋y＋z＋t)2，当且仅当x＝y＝z＝t＝1时，取最小值4.答案：413．已知a，b，x，y∈R＋，且＞，x＞y，则与的大小关系是________．解析：∵＞，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，由排序不等式知，bx＞ay.又－＝＞0，∴＞.答案：＞14．设a，b，c均为实数，则的最大值为________．解析：

10、∵a＋b－c＝a＋×b－×c，由柯西不等式得(a＋b－c)2＝(a＋×b－×c)2≤(a2＋2b2＋3c2)，∴a＋b－c≤.∴≤.故所求的最大值为.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.证明：∵左＝(12＋12＋12)≥2