八年级数学上册1.2一定是直角三角形吗学案新版北师大版

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1、1.2一定是直角三角形吗学习目标：1．经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。2．掌握勾股定理逆定理和他的简单应用重点难点：重点：能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题1．把握勾股定理的逆定理；2，用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。学习过程1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三

2、角形的判定定理。1．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）首先求出最大边（如c）；（2）验证a+b与c是否具有相等关系；若c2=a2+b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。若c2≠a2+b，则△ABC不是直角三角形。2．直角三角形的判定方法小结：（1）三角形中有两个角互余；（2）勾股定理的逆定理；3．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5；5、12、13；6、8、10；12、16、20等。四、典型例题例1.在中，，于D，求证：（1）（2）分析：在图中有与三个直角三角形，

3、利用勾股定理可以求证。证明：（1）（2）又即例2、已知中，，求AC边上的高线的长。分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。解：为，且作于D设，则答：AC边上的高线长为。例3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2=BD·DC思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE⊥BC于E，便出现两个全等的直角三角形。由AB=ACBE=EC

4、结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt△ABE，Rt△ADE中，由勾股定理，得AB2－AD2=BE2－DE2AB2=AE2+BE2AD2=AE2+DE2由于BE、DE均在一条直线BC上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是AB2－AD2=BD·CDAB2－AD2=(BE+DE)(BE－DE)结合图形知：BE+DE=BDBE－DE=CE－DE=CD例4.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，∠CBA=90

5、°,求S四边形ABCD思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因∠CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求AC2=AB2+BC2=32+42=25在△CAD中，我们又可发现：AC2+AD2=25+122=169DC2=132=169∴AC2+AD2=CD2，由勾股定理逆定理知∴△ACD为Rt△，且∠DAC=90°此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD例5、在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且

6、EC=,求证:ÐEFA=90°分析:通过图形结构和求证本题思路十分明显,就是要找Rt,那就是要通过勾股定理逆定理来完成。证明:设正方形ABCD的边长为4a则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a在RtABE中在RtADF中在RtECF中由上述结果可得由勾股定理逆定理可知AEF为Rt,且AE是最大边,即ÐAFE=90°例6、已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别AB，AD上的点，又AB=12，EF=10，△AEF的面积等于五边形EBCDF面积的，求AE，AF的长。思路分析：依题意知△AEF为Rt△用勾股定理，立马而定，于是有EF

7、2=AE2+AF2设AE=x,AF=y,又EF2=100,则x2+y2=100①本例未告知AF,AE谁大,所以应取两解.