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《八年级数学上册 《勾股定理》例题精讲与同步练习学案1 北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《勾股定理》例题精讲与同步练习【基础知识精讲】勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，它建立了直角三角形三边的等量关系，是求线段长度的又一重要工具，同时，在一般三角形中求线段长时，可考虑通过作高转化为直角三角形，再利用勾股定理来计算相关线段长.利用勾股定理解决问题时常用到分解因式、列方程计算等代数解法.【重点难点解析】本节重难点在于熟练掌握定理内容并运用定理解决有关线段的计算问题.例1直角三角形两直角边长为5，12，求斜边上的高.分析利用勾股定理先求斜边，再用面积公式求斜边的高.解设直角边a=5,b=12,斜边为c，斜边高为h,∵a2+b2=c
2、2.∴c==13.又ab=ch∴h=.例2直角三角形三边长为连续偶数，求三边的长.分析三边长为连续偶数，可分别设为a,a+2,a+4，显然a+4为斜边，再利用勾股定理列方程.注意a为偶数.若求出的结论中a可以取奇数值，则舍去.解设三边长为a,a+2,a+4(a为偶数且a＞0),斜边最长为a+4.由勾股定理a2+(a+2)2=(a+4)2a2-4a-12=0.(a-6)(a+2)=0∵a＞0∴a+2＞0,a-6=0a=6.三边为6,8,10.例3等腰三角形顶角为120°,求底与腰的比.(图3.16-1)图3.16-1分析合理的作高，将斜三角形的问题转化到直角三角形中
3、，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思路.解△ABC中，AB=AC∠BAC=120°,求.∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°，作AD⊥BC于D，∴BD=DC.Rt△ABD中，∠B=30°，∠ADB=90°,∴AD=AB.BD2=AB2-AD2=AB2-AB2=AB2∴BD=AB,BC=AB,∴.例4已知CD为Rt△ABC斜边上的高(图3.16-2)，求证(1)CD2=AD·DB(2)AC2=AD·AB(3)BC2=BD·AB图3.16-2分析本题中有三个直角三角形Rt△ACD,Rt△BCD，Rt△ABC,合理利用这些直角三角
4、形，用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思路.证(1)∵CD为Rt△ABC斜边上的高.∴△ACD，△BCD均为直角三角形∴AD2+CD2=AC2①BD2+CD2=BC2②①+②AD2+BD2+2CD2=AC2+BC2=AB2=(AD+DB)2=AD2+BD2+2AD·BD.∴2CD2=2AD·BD∴CD2=AD·BD.(2)∵AC2=AD2+CD2由(1)CD2=AD·DB.∴AC2=AD2+AD·DB=AD(AD+DB)=AD·AB.(3)BC2=BD2+CD2由(1)CD2=AD·DB∴BC2=BD2+AD·BD=(BD+AD)·BD=AB
5、·BD.注:本例的三个结论又称“射影定理”【难题巧解点拨】例1Rt△ABC的一条直角边长BC=5，另两边为自然数，AD为角平分线，求AD的长，图(3.16-3)图3.16-3分析本例首先要求出△ABC的三边，考虑到AB、AC为自然数，求三边即求方程AC2+25=AB2的正整数解，直接求不好着手，可将上式变形为(AB+AC)(AB-AC)=25，利用两自然数的和、差同奇偶来求出AB，AC，求出三边后，再求AD，考虑AD为角平分线到角两边距离相等，作DE⊥AB于E，则DC=DE，再利用Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△AED，Rt△BED中的三边关系，利用勾股定理合理
6、列出方程来求出AD的长.解设AC=bAB=c.则b,c为自然数且c2-b2=52(c+b)(c-b)=25.∵25=25×1=5×5.∵b＞0∴c+b＞c-b且c+b,c-b均为正整数.∴.过D作DE⊥AB于E.∵AD为角平分线∴DE=DC.在Rt△ADE和Rt△ADC中，DE=DCDA=DA∴AC=AE=12.AB=13∴BE=1.设CD=DE=xBD=y.∴∴AD2=AC2+CD2=()2+122=()2×26.∴AD=.本题综合性强，先利用AC，AB为自然数，利用勾股定理求出另两边，再利用角平分线性质作出DE⊥AB于E.制造Rt△BDE.进而到方程求出AD的
7、长.例2△ABC中，BC=a,CA=bAB=c∠BAC=120°(图3.16-4)，求证a2=b2+c2+bc.图3.16-4分析将斜三角形问题通过作高巧妙地转化为直角三角形，利用勾股定理解决有关边的计算问题是常用办法之一.证作CD⊥AB交BA延长线于D，∠BAC=120°,∴∠CAD=60°,∠D=90°,∴AD=AC=b.CD==b.在Rt△CDB中a2=(b)2+(b+c)2=b2+b2+bc+c2=b2+c2+bc.【课本难题解答】P116复习题三B组3如图3.16-5，折叠长方形的一边AD，使D落在BC上的点F处，已知AB=8BC=10求EC.图3.16
8、-5解∵D
