2018届高考数学一轮复习 配餐作业59 最值、范围问题（含解析）理

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1、配餐作业(五十九)　最值、范围问题(时间：40分钟)1．如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为。(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2。解析　(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝。所以椭圆的方程为＋y2＝1。(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0。由已知得(1,1)在椭圆外，则Δ>0，设P(x1，

2、y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝。从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)·＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2。故直线AP与AQ的斜率之和为2。答案　(1)＋y2＝1　(2)见解析2．已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线。直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ(λ≠0)。(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程。解析　(1)∵F1，E，A三点

3、共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2。由x2＋2＝，得x＝±，∴c＝，

4、AF2

5、2＝

6、AF1

7、2－

8、F1F2

9、2＝9－8＝1，2a＝

10、AF1

11、＋

12、AF2

13、＝4，a＝2。∵a2＝b2＋c2，∴b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1。(2)由题意知，点A的坐标为(，1)，∵＝λ(λ≠0)，∴直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋m，联立消去y并整理得x2＋mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2

14、MN

15、＝

16、x2－x1

17、＝＝，点A到直线l的距离d＝

18、，∴S△AMN＝

19、MN

20、·d＝×

21、m

22、＝≤×＝，当且仅当4－m2＝m2，即m＝±时等号成立，此时直线l的方程为y＝x±。答案　(1)＋＝1　(2)y＝x±3．(2017·太原模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4。(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·＝0，求

23、

24、＋

25、

26、的取值范围。解析　(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，此时S△PF1F2＝·

27、F1F2

28、·

29、OP

30、＝b

31、c，∴bc＝4，∵e＝，∴b＝2，a＝4，∴椭圆的方程为＋＝1。(2)由(1)得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2,0)，∵·＝0，∴AC⊥BD。①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得

32、

33、＋

34、

35、＝6＋8＝14。②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，∴∴

36、

37、＝

38、x1－x2

39、＝，此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理，由可得

40、

41、＝，∴

42、

43、＋

44、

45、＝＋＝，令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，∴

46、

47、＋

48、

49、＝，∵

50、t>1，∴0<≤，∴

51、

52、＋

53、

54、∈。由①②可知，

55、

56、＋

57、

58、的取值范围是。答案　(1)＋＝1　(2)4．(2016·贵阳监测)设点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0。(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值。解析　(1)设P(x，y)，则＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，∴·＝x2＋y2－c2＝x2＋1－c2，x∈[－a，a]，由题意得

59、，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1。(2)将直线l的方程l：y＝kx＋m代入椭圆C的方程＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，则Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得：m2＝2k2＋1。设d1＝

60、F1M

61、＝，d2＝

62、F2N

63、＝。①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则

64、d1－d2

65、＝

66、MN

67、·

68、tanθ

69、，∴

70、MN

71、＝·

72、d1－d2

73、，∴S＝··

74、d1－d2

75、·(d1＋d2)＝＝＝，∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，

76、m

77、>1，

78、m

79、＋>2，即S<2。②当k＝0时，四边形F1M

80、NF2是矩形，此时S＝2。∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2。答案　(1)＋y2＝1　(2)2(时间：20分钟)1．已